===== Решение задачи =====

**Условие:** В трёх углах квадрата со стороной \(\ell\), сделанного из тонких невесомых спиц, закреплены три шарика одинаковой массы \(m\). Квадрат подвешен за свободный угол. Найти частоту малых колебаний системы, если они происходят в плоскости квадрата.

**Дано:**
  * Длина стороны квадрата: \(\ell\)
  * Масса каждого шарика: \(m\)
  * Ускорение свободного падения: \(g\)

**Найти:**
  * Циклическую частоту \(\omega\) малых колебаний.

---

==== Ход решения ====

=== Геометрия системы ===
Расположим квадрат в координатной плоскости так, чтобы точка подвеса (свободный угол) находилась в начале координат \(A(0,0)\), а стороны вдоль осей:
  * \(A(0,0)\) – точка подвеса (без шарика),
  * \(B(\ell,0)\) – шарик массой \(m\),
  * \(D(0,\ell)\) – шарик массой \(m\),
  * \(C(\ell,\ell)\) – шарик массой \(m\).

=== Центр масс ===
Массы одинаковы, поэтому центр масс находится как среднее арифметическое координат трёх шариков:
$$x_c = \frac{m \cdot \ell + m \cdot \ell + m \cdot 0}{3m} = \frac{2\ell}{3}, \quad y_c = \frac{m \cdot 0 + m \cdot \ell + m \cdot \ell}{3m} = \frac{2\ell}{3}.$$
Расстояние от точки подвеса до центра масс:
$$h = \sqrt{x_c^2 + y_c^2} = \sqrt{\left(\frac{2\ell}{3}\right)^2 + \left(\frac{2\ell}{3}\right)^2} = \frac{2\ell}{3}\sqrt{2}.$$

=== Момент инерции относительно точки подвеса ===
Момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку подвеса перпендикулярно плоскости квадрата (ось вращения при колебаниях), равен сумме моментов инерции каждого шарика:
$$I = m \cdot r_B^2 + m \cdot r_D^2 + m \cdot r_C^2,$$
где
  * \(r_B = \ell\) (расстояние от \(A\) до \(B\)),
  * \(r_D = \ell\) (расстояние от \(A\) до \(D\)),
  * \(r_C = \sqrt{\ell^2 + \ell^2} = \ell\sqrt{2}\).
Тогда
$$I = m\left(\ell^2 + \ell^2 + 2\ell^2\right) = 4m\ell^2.$$

=== Уравнение движения ===
При малом отклонении системы на угол \(\varphi\) от положения равновесия (вертикаль) возвращающий момент силы тяжести относительно точки подвеса равен
$$M = - (3m) g \cdot h \cdot \sin\varphi \approx -3mg h \,\varphi,$$
где знак минус указывает на возвращающий характер.
Уравнение вращательного движения:
$$I \frac{d^2\varphi}{dt^2} = M \quad \Rightarrow \quad 4m\ell^2 \,\ddot{\varphi} = -3mg h \,\varphi.$$
Подставляем \(h = \frac{2\ell}{3}\sqrt{2}\):
$$4m\ell^2 \,\ddot{\varphi} = -3mg \cdot \frac{2\ell}{3}\sqrt{2} \,\varphi = -2mg\ell\sqrt{2} \,\varphi.$$
Сокращаем на \(m\ell\) (при \(\ell \neq 0\)):
$$4\ell \,\ddot{\varphi} = -2g\sqrt{2} \,\varphi \quad \Rightarrow \quad \ddot{\varphi} = -\frac{g\sqrt{2}}{2\ell} \,\varphi.$$

=== Частота колебаний ===
Полученное уравнение описывает гармонические колебания с циклической частотой
$$\omega = \sqrt{\frac{g\sqrt{2}}{2\ell}}.$$
Эту формулу можно также записать в виде
$$\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell\sqrt{2}}}.$$

---

==== Ответ ====
Циклическая частота малых колебаний системы:
$$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{g\sqrt{2}}{2\ell}}}.$$