{{:mechanics:выделение_188.png?direct&200 |}} Определите положение центра масс системы, состоящей из четырех шаров, массы которых равны
соответственно $m, 2m, 3m$ и $4m$ следующих случаях: 

а) шары расположены на одной прямой; 

б) шары расположены по вершинам квадрата; 

в) шары расположены по четырем смежным вершинам куба.

-----

По определению центра масс

$$\vec{r}_{c}=\frac{\sum_{i}\vec{r}_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}},$$

соответственно проецируя вектор на оси, получим координаты

$$x_{c}=\frac{\sum_{i}x_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}, \ \ y_{c}=\frac{\sum_{i}y_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}, \ \ 
z_{c}=\frac{\sum_{i}z_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}.$$ 

В первом случае только x-овая компонента не нулевая:

$$x_{c}=\frac{\sum_{i}x_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{0\cdot m+a\cdot2m+2a\cdot3m+3a\cdot4m}{m+2m+3m+4m}=\frac{am\left(2+6+12\right)}{10m}=2a.$$

===2===
Рассмотрим две компоненты:

$$x_{c}=\frac{\sum_{i}x_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{0\cdot4m+0\cdot m+a\cdot3m+a\cdot2m}{m+2m+3m+4m}=\frac{1}{2}a,$$

$$y_{c}=\frac{0\cdot4m+a\cdot m+0\cdot3m+a\cdot2m}{m+2m+3m+4m}=\frac{3}{10}a$$

===3=== 
Теперь есть все три координаты:

$$x_{c}=\frac{0\cdot m+0\cdot2m+a\cdot3m+0\cdot4m}{m+2m+3m+4m}=\frac{3}{10}a,$$

$$y_{c}=\frac{a\cdot m+0\cdot2m+0\cdot3m+0\cdot4m}{m+2m+3m+4m}=\frac{1}{10}a,$$

$$z_{c}=\frac{0\cdot m+a\cdot2m+0\cdot3m+0\cdot4m}{m+2m+3m+4m}=\frac{1}{5}a.$$