Железнодорожная платформа в момент $t = 0$ начинает двигаться под действием
постоянной силы тяги $F.$ Пренебрегая трением в осях, найти зависимость от
времени скорости платформы $v(t)$ если:

1) платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие в ее
дне с постоянной скоростью $\mu $ (кг/с), а в момент $t = 0$ масса платформы с песком
равна $m_0;$

2) на платформу, масса которой $m_0,$ в момент $t = 0$ начинает высыпаться песок из неподвижного
бункера так, что скорость погрузки постоянна и равна $\mu $ (кг/с).

-----

Масса меняется со временем $m=m_{0}-\mu t$. Используем уравнение
Мещерского

$$m\frac{dv}{dt}=F+\frac{dm}{dt}\left(u-v\right)$$

где $\left(u-v\right)$ --- относительная скорость присоединяющихся/отделяющихся
частиц. Так песок отделяется с той же скоростью, то $\left(u-v\right)=0$
и тогда

$$(m_{0}-\mu t)\frac{dv}{dt}=F$$

получили дифференциальное уравнение, переменные которого легко разделяются

$$\frac{dt}{m_{0}-\mu t}=\frac{dv}{F}$$

навешиваем интеграл:

$$\intop_{0}^{t}\frac{dt}{m_{0}-\mu t}=\intop_{0}^{v}\frac{dv}{F}=\frac{v}{F}$$

$$\intop_{0}^{t}\frac{dt}{m_{0}-\mu t}=-\frac{1}{\mu}\intop_{0}^{t}\frac{d\left(-\mu t\right)}{m_{0}-\mu t}=\left.-\frac{1}{\mu}\ln\left(m_{0}-\mu t\right)\right|_{0}^{t}=-\frac{1}{\mu}\ln\left(\frac{m_{0}-\mu t}{m_{0}}\right),$$

$$v=\frac{F}{\mu}\ln\left(\frac{m_{0}}{m_{0}-\mu t}\right)$$

===2)===
Вновь запишем уравнение Мещерского

$$m\frac{dv}{dt}=F+\frac{dm}{dt}\left(u-v\right)$$

$$\left(m_{0}+\mu t\right)\frac{dv}{dt}=F+\mu\left(0-v\right)=F-\mu v$$

$$\frac{dv}{F-\mu v}=\frac{dt}{m_{0}+\mu t}$$

$$\intop_{0}^{v}\frac{dv}{F-\mu v}=\frac{1}{\mu}\ln\frac{F}{F-\mu v}$$

$$\intop_{0}^{t}\frac{dt}{m_{0}+\mu t}=\frac{1}{\mu}\ln\frac{m_{0}+\mu t}{m_{0}}$$

тогда $$\frac{F}{F-\mu v}=\frac{m_{0}+\mu t}{m_{0}}$$ и разрешая относительно
скорости получим

$$v=\frac{Ft}{m_{0}+\mu t}$$