===== Распад неподвижной частицы =====

**Условие задачи:**  
Неподвижная частица массы \( M \) распадается на две частицы с массами \( m_1 \) и \( m_2 \). Определить кинетические энергии образовавшихся частиц.

==== Решение ====

=== 1. Законы сохранения ===

Исходная частица покоится, поэтому:

* **Закон сохранения энергии:**
\[
  Mc^2 = E_1 + E_2
\]
где \( E_1 \) и \( E_2 \) - полные энергии частиц.

* **Закон сохранения импульса:**
\[
\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad |\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = p
\]

=== 2. Связь энергии и импульса ===

Для релятивистских частиц:
\[
E_1^2 = p^2c^2 + m_1^2c^4
\]
\[
E_2^2 = p^2c^2 + m_2^2c^4
\]

=== 3. Нахождение полных энергий ===

Из закона сохранения энергии: \( E_2 = Mc^2 - E_1 \)

Подставляем в формулу для \( E_2^2 \):
\[
(Mc^2 - E_1)^2 = p^2c^2 + m_2^2c^4
\]

Используем \( p^2c^2 = E_1^2 - m_1^2c^4 \):
\[
M^2c^4 - 2Mc^2E_1 + E_1^2 = E_1^2 - m_1^2c^4 + m_2^2c^4
\]

Упрощаем:
\[
M^2c^4 - 2Mc^2E_1 = m_2^2c^4 - m_1^2c^4
\]

Выражаем \( E_1 \):
\[
E_1 = \frac{M^2c^4 + m_1^2c^4 - m_2^2c^4}{2Mc^2}
\]

Аналогично для \( E_2 \):
\[
E_2 = \frac{M^2c^4 + m_2^2c^4 - m_1^2c^4}{2Mc^2}
\]

=== 4. Кинетические энергии ===

Кинетическая энергия: \( K = E - mc^2 \)

Для первой частицы:
\[
K_1 = E_1 - m_1c^2 = \frac{M^2c^4 + m_1^2c^4 - m_2^2c^4}{2Mc^2} - m_1c^2
\]

Приводим к общему знаменателю:
\[
K_1 = \frac{M^2c^4 + m_1^2c^4 - m_2^2c^4 - 2M m_1 c^4}{2Mc^2}
\]

Группируем:
\[
K_1 = \frac{c^4[(M - m_1)^2 - m_2^2]}{2Mc^2}
\]

Используем разность квадратов:
\[
K_1 = \frac{c^2[(M - m_1) - m_2][(M - m_1) + m_2]}{2M}
\]

Окончательно:
\[
K_1 = \frac{[M - (m_1 + m_2)][M - (m_1 - m_2)] c^2}{2M}
\]

Аналогично для второй частицы:
\[
K_2 = \frac{[M - (m_1 + m_2)][M - (m_2 - m_1)] c^2}{2M}
\]

==== Ответ ====

Кинетические энергии образовавшихся частиц:

\[
\boxed{K_1 = \frac{[M - (m_1 + m_2)][M - (m_1 - m_2)] c^2}{2M}}
\]

\[
\boxed{K_2 = \frac{[M - (m_1 + m_2)][M + (m_1 - m_2)] c^2}{2M}}
\]

//Примечание: Формулы справедливы в релятивистском случае.//