1.37. Имеются две системы $N$ линз с одинаковыми фокусными расстояниями $|f|$ каждой линзы. Найти траекторию луча в каждой
из систем, если расстояние между линзами --- $d.$ Рассмотреть случаи:

а) система составлена только из собирающих линз. При каком соотношении $\frac df$ решение неустойчиво? 

б) Система состоит из чередующихся рассеивающих и собирающих линз.

-----

===== а) =====

Рассмотрим систему из собирающих линз, она состоит из одинаковых блоков --- "линза + пустой промежуток", тогда матрица преобразования такого блока:
$$
M=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
-\frac{1}{f} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & d\\
0 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & d\\
-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1
\end{array}\right),
$$ 
а прохождение $N$ таких блоков опишется матрицей
$$
M_{N}=\left(\begin{array}{cc}
1 & d\\
-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1
\end{array}\right)^{N}.
$$ 
Преобразование на $m$--том шаге можно записать
в виде:
$$
\left(\begin{array}{c}
x_{m}\\
\alpha_{m}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & d\\
-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{m-1}\\
\alpha_{m-1}
\end{array}\right),
$$
а на $m+1$--ом шаге:
$$\left(\begin{array}{c}
x_{m+1}\\
\alpha_{m+1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & d\\
-\frac{1}{f} & -\frac{d}{f}+1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{m}\\
\alpha_{m}
\end{array}\right).
$$

Запишем преобразование в виде системы:
$$x_{m}=x_{m-1}+d\alpha_{m-1};$$
$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1};$$
$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m};$$
$$\alpha_{m+1}=-\frac{x_{m}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m}.$$

Из первого выразим угол

$$\alpha_{m-1}=d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)$$

и подставим его во второе равенство

$$\alpha_{m}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)\alpha_{m-1}=-\frac{x_{m-1}}{f}+\left(1-\frac{d}{f}\right)d^{-1}\left(x_{m}-x_{m-1}\right)=
$$
$$-\frac{1}{d}x_{m-1}+\left(\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\right)x_{m}$$

и после подставки в третье равенство получим выражение

$$x_{m+1}=x_{m}+d\alpha_{m}=\left(2-\frac{d}{f}\right)x_{m}-x_{m-1}=2bx_{m}-x_{m-1},$$

являющееся линейным разностным уравнением. При задании граничного
условия его решение единственно. Искать решение будем в виде $x_{m}=Ah^{m},$
тогда после подстановки придём к квадратному уравнению
$h^{2}-2bh+1=0.$ Его решение
$$h_{\{1,2\}}=b\pm\sqrt{b^{2}-1}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}.$$

Решение будет периодическим, если 
$$h_{\{1,2\}}=b\pm i\sqrt{1-b^{2}}=e^{\pm i\varphi},$$
где $\cos\varphi=b=1-\frac{d}{2f}$.

Таким образом, если $d>4f$, то $|\cos \varphi|>1$, значит при $d>4f$ --- движение неустойчиво.

/* Таким образом условие на существование периодического решения: $\frac{b}{c}\leq 1$, т.о.
$$\frac{b}{c}=\leq 1$$


Действительно, можно искать решение сразу в виде

$$x_{m}=A\cos\left(\varphi\cdot m+\psi\right),$$ 
тогда, подставив в
уравнение получим:

$$\cos\left(2\varphi+\psi\right)-2b\cos\left(\varphi+\psi\right)-c^{2}\cos\left(\psi\right)=0$$
*/