2.18. Вычислить групповую скорость для различных законов дисперсии
($v$ --- фазовая скорость): 

а) $v=const$ --- звук в воздухе; 

б) $v=a\sqrt{\lambda}$ --- гравитационные волны на воде; 

в) $v=\frac{a}{\sqrt{\lambda}}$ --- капиллярные волны; 

г) $v=\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}$ --- электромагнитные волны в ионосфере ($c$ --- скорость света; $\lambda$ ---
длина волны в среде); 

д) $v=\frac{c\omega}{\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}}$
--- электромагнитные волны в прямолинейном волноводе, заполненном
диспергирующей средой с $\varepsilon=\varepsilon(\omega)$ и $\mu=\mu(\omega)$;
$c$ --- скорость света в вакууме, $\alpha$ --- геометрический фактор волновода.

-----

==== a) ====

Фазовая скорость --- $v=\frac{\omega}{k}$, групповая
скорость --- $u=\frac{d\omega}{dk}$, т.к. $v=\text{const},$ то
$$u=\frac{d\left(vk\right)}{dk}=v.$$

==== б) ==== 

Можно использовать выражение $\omega=vk$, тогда $\omega=vk=a\sqrt{\lambda}k=a\sqrt{2\pi k}$
и дифференцируя 
$$u=\frac{d\omega}{dk}=a\sqrt{\frac{\pi}{2k}}=\frac{a\sqrt{2\pi k}}{2k}=\frac{\omega}{2k}=\frac{1}{2}v.$$

С другой стороны, можно воспользоваться формулой связи скоростей $u=v-\lambda\frac{dv}{d\lambda},$ полученной в [[res2.17|задаче 2.17]] тогда 
$$u=v-\lambda\frac{d\left(a\sqrt{\lambda}\right)}{d\lambda}=v-\frac{a\sqrt{\lambda}}{2}=v-\frac{v}{2}=\frac{v}{2}.$$

==== в) ==== 

$$u=v-\lambda\frac{d\left(a\lambda^{-\frac{1}{2}}\right)}{d\lambda}=v+\frac{\left(a\lambda^{-\frac{1}{2}}\right)}{2}=\frac{3}{2}v.$$

==== г) ==== 
$$u=v-\lambda\frac{d\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}{d\lambda}=v-b^{2}\lambda^{2}\frac{1}{\sqrt{c^{2}+b^{2}\lambda^{2}}}=$$ 
$$v-\frac{b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{v^{2}-b^{2}\lambda^{2}}{v}=\frac{c^{2}}{v}.$$

==== д) ====

Подставим в выражение $v=\frac{c\omega}{\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}}$
фазовую скорость $v=\frac{\omega}{k}$, тогда $\sqrt{\varepsilon\mu\omega^{2}-c^{2}\alpha^{2}}=kc$,
а с другой стороны 
$$\omega=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}.$$

Теперь найдём групповую скорость:
$$
u=\frac{d\omega}{dk}=\frac{ck}{\sqrt{\varepsilon\mu}\cdot\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}}-\frac{c}{2\left(\sqrt{\varepsilon\mu}\right)^{3}}\sqrt{k^{2}+\alpha^{2}}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=$$
$$\frac{c^{2}}{v}-\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}.$$

Перейдём теперь от зависимости $\varepsilon\mu$ от волнового вектора
к зависимости от частоты: 
$$\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{dk}\frac{d\omega}{d\omega}=\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u,$$
тогда 
$$u=\frac{c^{2}}{v}-\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}u$$
и разрешая относительно скорости $u$ окончательно получим:
$$u=\frac{c^{2}}{v\left(1+\frac{\omega}{2\varepsilon\mu}\frac{d\left(\varepsilon\mu\right)}{d\omega}\right)}.$$