2.34. Определить $E$--волны ($H$--волны), которые могут распространяться вдоль пустого волновода прямоугольного сечения $a \times b.$
Найти критическую (наименьшую) частоту этих волн.

-----

Компонента поля $E_{z}(x,y)$ подчиняется двумерному волновому уравнению

$$\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}E_{z}$$
и граничному условию $E_{z}|_{\Gamma}=0.$ 

Будем решать это уравнение методом разделения переменных для чего
предположим, что $E_{z}=X(x)\cdot Y(y).$ Подставляя это в волновое
уравнение, получим 

$$Y\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+X\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}XY$$

разделим обе части уравнения на произведение $XY,$ получим 

$$\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{\bot}^{2}$$

Первое слагаемое зависит только от $x$ второе --- только от $y$
и равна константе во всей области определения, это возможно только
тогда, когда каждая из них равна константе. 

Положим $$\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}=-k_{x}^{2};\,\,\,\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-k_{y}^{2}$$

Тогда 

$$X(x)=A\sin k_{x}x+B\cos k_{x}x,Y(y)=C\sin k_{y}y+D\cos k_{y}y.$$

Учитывая граничные условия $E_{z}(x=0,y)=0,$ что эквивалентно условию
$X(0)=0$ и $E_{z}(x,y=0)=0,$ что эквивалентно $Y(0)=0$, получим
$E_{z}(x,y)=A\sin k_{x}x\sin k_{y}y,$ где $k_{x}$ и $k_{y}$ удовлетворяют
условию $k_{x}^{2}+k_{y}^{2}=k_{\bot}^{2},$ или, другими словами,
$\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.$
Для удовлетворения условий на границах $x=a$ и $y=b$ 

$k_{x,n_{x}}a=n_{x}\pi,\,\,\,k_{y,n_{y}}b=n_{y}\pi,$ где $n_{x}=1,2,3,\ldots,n_{y}=1,2,3,\ldots.$ 

Общее решение тогда запишется в виде 

$$E_{z}\left(x,y\right)=\sum_{n_{x},n_{y}}A_{n_{x},n_{y}}\sin\frac{n_{x}\pi}{a}x\sin\frac{n_{y}\pi}{b}y$$

при условии

$$\left(\frac{n_{x}\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y}\pi}{b}\right)^{2}+k_{z}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu .$$

Тогда критическая частота будет когда $k_{z}=0,$ а $n_{x}$ и $n_{y}$
будут минимальными, т.е. $$\omega_{min}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{\pi}{b}\right)^{2}}.$$

Для $H$--волны, из-за граничных условий $\frac{\partial H_{z}}{\partial n}=0$
произойдёт замена $\sin\to\cos$ так, что

$$H_{z}\left(x,y\right)=\sum_{n_{x},n_{y}}A_{n_{x},n_{y}}\cos\frac{n_{x}\pi}{a}x\cos\frac{n_{y}\pi}{b}y$$

при том-же условии

$$\left(\frac{n_{x}\pi}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n_{y}\pi}{b}\right)^{2}+k_{z}^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\varepsilon\mu,$$

следовательно, минимальное значение частоты если один из $n_{x}$
или $n_{y}$ занулится: $$\omega_{min}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\frac{\pi}{\max(a,b)}.$$