2.4. Найти связь между компонентами Фурье полей и потенциалов (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны).

-----

Найдём связь между компонентами Фурье полей и потенциалов подставив
в уравнения связи полей и потенциалов

$$\mathbf{B}=\text{rot}\mathbf{A}=[\nabla\times\mathbf{A}],$$

$$\mathbf{E}=-\text{grad}\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}.$$

Запишем функции полей и потенциалов, выраженные через их Фурье образы:

$$
\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega  =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}  =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k},
$$
$$\mathbf{A}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k},
$$
$$\mathbf{E}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} =\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k},$$
$$
\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{\varphi}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega =\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k} =\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\omega\mathbf{k}}e^{-i(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r})}d\omega d\mathbf{k}.
$$

Фурье образы $\mathbf{B}_{\omega},\mathbf{E}_{\omega},\mathbf{A}_{\omega},\mathbf{\varphi}_{\omega},\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{\varphi}_{\omega\mathbf{k}}$
не зависят от времени, а 
$\mathbf{B}_{\omega},\mathbf{E}_{\omega},\mathbf{A}_{\omega},\mathbf{\varphi}_{\omega},\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{E}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}},\mathbf{\varphi}_{\omega\mathbf{k}}$
--- от пространственных переменных, тогда производные функций, записанные через Фурье образы, после замены порядка интегрирования и дифференцирования, легко берутся. 

Рассмотрим
сначала разложение на монохроматические волны: 

$$
\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=[\nabla\times\mathbf{\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]e^{-i\omega t}d\omega
.$$
перепишем равенство в виде
$$
\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]\right)e^{-i\omega t}d\omega=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}_{\omega}e^{-i\omega t}d\omega=\mathbf{F}(t)=0
.$$

Но для всюду нулевой функции $\mathbf{F}(t)=0$ её образ 

$$\mathbf{F}_{\omega}=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{F}(t)e^{i\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{\infty}0\cdot e^{i\omega t}d\omega=0 $$

так же будет нулевым

$$\mathbf{B}_{\omega}-[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}]=0$$

так, что

$$\mathbf{B}_{\omega}=[\nabla\times\mathbf{\mathbf{A}_{\omega}}] .$$

Рассмотрим теперь разложение на плоские волны:

$$
\mathbf{B}=\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{B}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=[\nabla\times\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}]=\intop_{-\infty}^{\infty}[\nabla\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=
$$
$$\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}]d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}
$$

перепишем равенство в виде

$$
\intop_{-\infty}^{\infty}\left(\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]\right)e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=0 .$$

Аналогично, как и в предыдущем случае, приходим к равенству нулю подынтегральной
функции

$$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}-i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}]=0,$$

ну и окончательно

$$\mathbf{B}_{\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\mathbf{k}}].$$

При разложении по плоским и монохроматическим:

$$\mathbf{B}_{\omega\mathbf{k}}=i[\mathbf{k}\times\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}].$$

Аналогичные построения для электрического поля приводят к выражениям:

$$\mathbf{E}_{\omega}=-\nabla\varphi_{\omega}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega}.$$

$$\mathbf{E_{k}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\mathbf{k}}-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{\mathbf{A}_{\mathbf{k}}}}{\partial t}.$$

$$\mathbf{E_{\omega\mathbf{k}}}=-i\mathbf{k}\varphi_{\omega\mathbf{k}}+i\frac{\omega}{c}\mathbf{A}_{\omega\mathbf{k}}.$$