2.5. а) Разложить по плоским волнам кулоновский потенциал неподвижного точечного заряда; 

б) то же для векторного потенциала прямого тока $J$ (плотность тока $J = j\delta (x)\delta (y) ).$

-----
===== а) =====

Кулоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:

$$\Delta\varphi=-4\pi q\delta(\mathbf{r}).$$
Как и в [[res2.4|предыдущей задаче]] запишем потенциал в виде:
$$\varphi=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$$
а трёхмерную дельта--функцию в виде
$$
\delta(\mathbf{r})=\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}
.$$
Подействовав лапласианом на функцию $\varphi$ получим с одной стороны:
$$
\Delta\varphi=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\Delta e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},
$$
а с другой
$$
-4\pi q\delta(\mathbf{r})=-4\pi q\frac{1}{\left(2\pi\right)^{3}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}=-q\frac{1}{2\pi^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k}.
$$
Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций:
$$
\varphi_{\mathbf{k}}\mathbf{k}^{2}=q\frac{1}{2\pi^{2}},
$$
так, что
$$
\varphi_{\mathbf{k}}=\frac{q}{2\pi^{2}\mathbf{k}^{2}}.
$$

===== б) =====
Аналогично рассмотрим и для тока: 
$$\mathbf{J}=j\delta(x)\delta(y),$$
удовлетворяющему уравнению для векторного потенциала: 
$$\Delta\mathbf{A}=-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J},$$
тогда с одной стороны:

$$\Delta\mathbf{A}=\Delta\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},\mathbf{A}=-\intop_{-\infty}^{\infty}\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}e^{i\mathbf{kr}}d\mathbf{k},$$

с другой стороны

$$-\frac{4\pi}{c}\mathbf{J}=-\frac{4\pi}{c}j\delta(x)\delta(y)=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dk_xdk_y=$$

$$-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dk_xdk_y\,\delta(k_{z})e^{ik_{z}z}dk_z .$$

Приравнивая обе части получим равенство подынтегральных функций:

$$-\mathbf{k}^{2}\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=-\frac{4\pi}{c}j\frac{1}{\left(2\pi\right)^{2}}\delta(k_{z})=-\frac{1}{c}j\frac{1}{\pi}\delta(k_{z})$$

так, что

$$\mathbf{A}_{\mathbf{k}}=\frac{j\delta(k_{z})}{\pi c\mathbf{k}^{2}}.$$