3.115. Найти пропускание $T$ голограмм, полученных в [[res3.114|предыдущей задаче]] (голограммы проявлены до коэффициента контрастности $\gamma = -2,$ где $T \sim I^{-\frac \gamma 2};$ считать, что при экспонировании голограмм интенсивность опорной волны была много больше интенсивности предметной волны). Найти волновое поле за голограммами в обоих случаях при освещении ее нормально падающей плоской волной (той же длины волны).

-----

Пропускание $T\sim I^{-\frac{1}{2}\gamma}$, где $\gamma=-2$
--- коэффициент контрастности, тогда $T\sim I$. 


Т.е. чем
больше света раньше падало тем сейчас при освещении светом ---
тем больше пройдёт.


Тогда освещая экран плоской волной 

$$E=Ae^{ikz-i\omega t}$$


в результате, на поверхности голограммы, получим поле 
$$E_{\text{г}}=T(x)Ae^{-i\omega t}.$$
Поле за голограммой

$$E_{\text{г}}=\left(E_{0}^{2}+E^{2}+2E_{0}E\cos\left(kx\beta-k\frac{x^{2}}{2f}\right)\right)Ae^{ikz-i\omega t}=$$

$$\left(E_{0}^{2}+E^{2}\right)Ae^{ikz-i\omega t}+E_{0}EA\left(e^{ikz+ikx\beta-ik\frac{x^{2}}{2f}-i\omega t}+e^{ikz-ikx\beta+ik\frac{x^{2}}{2f}-i\omega t}\right).$$

Первое слагаемое описывает плоскую волну амплитудой $$\left(E_{0}^{2}+E^{2}\right)A$$
распространяющейся по направлению $z,$ 
ещё два слагаемых с амплитудой
$E_{0}EA$ 
преобразуем, обращая внимание на фазу:

$$\psi_{1,2}=\pm\left(k\frac{x^{2}}{2f}-kx\beta\right)=$$
$$\pm\left(k\frac{\left(x-f\beta\right)^{2}}{2f}-\frac{1}{2}kf\beta^{2}\right),$$
тогда волна 
$$
E_{0}EAe^{ikz+ik\left(\frac{\left(x-f\beta\right)^{2}}{2f}-\frac{1}{2}f\beta^{2}\right)-i\omega t}$$

распространяется под углом $-\beta$ от точечного источника, "расположенного"
на расстоянии $f$ перед голограммой и 
смещённую по $x$ на расстояние
$f\beta.$ Это волна расходящаяся. 

Вторая волна $$E_{0}EAe^{ikz-ik\left(\frac{\left(x-f\beta\right)^{2}}{2f}-\frac{1}{2}f\beta^{2}\right)-i\omega t}$$ 
сходящаяся, распространяется под углом $\beta$ к источнику
на расстоянии $f$ за голограммой и смещённую по $x$ так же на расстояние
$f\beta.$


В случае восстановления голограммы б) с интенсивностью

$$I_{\text{б)}}\sim\left(E_{1}+E_{2}\right)\left(E_{1}+E_{2}\right)^{*}=
$$
$$E_{0}^{2}+E^{2}+2E_{0}E\cos\left(kx(n-1)\alpha\right)$$

то возникает три плоских волны:

$$E_{\text{г}}=\left(E_{0}^{2}+E^{2}\right)Ae^{ikz-i\omega t}+E_{0}EA\left(e^{ikz+ikx\beta-i\omega t}+e^{ikz-ikx\beta-i\omega t}\right)$$

распространяющиеся прямо и под углами $\pm\beta$.