{{:optics:выделение_210.png?direct&200 |}}3.53. Найти радиус $r_m$ для $m$--й зоны Френеля. Чему он будет равен, если падающая волна плоская? Доказать, что площади зон Френеля равны. Найти вклад в амплитуду колебания в точке B от $m$-й зоны Френеля.

-----

Запишем интеграл Кирхгофа:

$$E_{B}=\frac{k}{2\pi i}\int E_{C}\frac{e^{ikr}}{r}\vec{n}\,d\vec{S}=\frac{1}{i\lambda}\int E_{C}\frac{e^{ikr}}{r}\cos\psi\,dS$$

где $\vec{n}$ --- направление на точку $B$ в точке распространения
вторичной волны площадью $dS$, а угол $\psi$ --- угол
между нормалью к фронту первичной волны и направлением на точку $B.$

Если волна от точечного источника проходит через круглое отверстие,
то точки этого отверстия будут источниками вторичных волн, так что
распространение от точечного источника $A$ до $B$ разобьётся на
два участка: от $A$ до поверхности $C$ и от $C$ до точки $B.$ Что бы найти поле в точке $B$ --- проинтегрируем вклад от всех точек поверхности $C$. 


Тогда интеграл становится следующим

\[
E_{B}=\frac{kE_{A}}{2\pi i}\int\frac{e^{ika}}{a}\frac{e^{ikR}}{R}\cos\psi\,dS=\frac{kE_{A}}{2\pi i}{\displaystyle \intop_{0}^{r_{0}}}\frac{e^{ik\left(a+R\right)}}{aR}\cos\psi\,2\pi a^{2}\sin\theta\,d\theta,
\]

где использовано, что
$$
E_C=E_A\frac{e^{ika}}{a}.
$$

По теореме косинусов найдём расстояние $$R^{2}=a^{2}+\left(a+b\right)^{2}-2a\left(a+b\right)\cos\theta.$$

Дифференциал этого выражения: $2R\,dR=2a\left(a+b\right)\sin\theta\,d\theta$, 
 тогда в интеграле произведём замену переменных для интегрирования

\[
E_{B}=\frac{kE_{A}}{i}{\displaystyle \intop_{b}^{R_{0}}}e^{ik\left(a+R\right)}\frac{\cos\psi}{a+b}\,dR
\]


Если $R-b=\Delta\ll b,$ то значения $\cos\psi\approx1$,  тогда

$$E_{B}\approx\frac{kE_{A}}{i\left(a+b\right)}{\displaystyle e^{ik\left(a+b\right)}\intop_{0}^{\Delta}}e^{ikR}\,dR=$$  
$$\frac{E_{A}}{\left(a+b\right)}e^{ik\left(a+b\right)}{\displaystyle \left(1-e^{ik\Delta}\right)}=
E_0{\displaystyle \left(1-e^{ik\Delta}\right)}.$$

Таким образом амплитуда меняется от нуля при $\Delta=m\lambda$  до
удвоенного значения 
$$E_0=\frac{E_{A}}{\left(a+b\right)}e^{ik\left(a+b\right)}$$
при $\Delta=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$. Где $E_0$ --- поле в точке $B$ от источника $A$, если открыто всё пространство между этими точками.


Найдём теперь, радиусы зон Френеля.
С одной стороны:
$$r^{2}=a^{2}-\left(a-h\right)^{2}=2ah-h^{2}\approx2ah,$$ 
с другой
$$r^{2}=R^{2}-\left(b+h\right)^{2}=\left(b+\Delta\right)^{2}-\left(b+h\right)^{2}=$$
$$2b\left(\Delta-h\right)+\Delta^{2}-h^{2}\approx2b\left(\Delta-h\right)$$
приравнивая найдём, что $h=\frac{b}{a+b}\Delta$,  
тогда $$r^{2}=\frac{2ab}{a+b}\Delta .$$

Положив $\Delta=\frac{\lambda}{2}m,$
занумеруем радиусы зоны Френеля $$r_{m}=\sqrt{\frac{ab\lambda m}{a+b}}=r_1\sqrt{m}.$$

Тогда при открытых радиусах до нечётных зон --- будут максимумы. а при открытых до чётных зон --- минимумы.


Чему будет равен радиус зоны Френеля, если падающая волна плоская?


Переход к плоской волне получится при $a\to \infty$, т.е.
$$r_{m}=\sqrt{b\lambda m}=r_1\sqrt{m}.$$

Покажем теперь, что площади зон Френеля равны. 
$$S=\int ds=2\pi\int \limits _0 ^{\theta_0} a^{2}\sin\theta\,d\theta=
2\pi a^{2}(1-\cos\theta),
$$
 
с учётом, 
$$\frac{r}{a}=\sqrt{\frac{2b\Delta}{a\left(a+b\right)}}=\sin\theta\approx\theta$$
получим, что
$$
S\approx2\pi a^{2} \left( 1-(1-\frac 12\theta^{2})\right)=\frac{2\pi ab}{a+b}\Delta .$$

Тогда площадь одной $m$--той зоны 
$$
\Delta S_m=S_m-S_{m-1}=\frac{\pi ab\lambda m}{a+b}-\frac{\pi ab\lambda (m-1)}{a+b}=\frac{\pi ab\lambda }{a+b}=S_1.
$$
Действительно, не зависит от номера зоны.

Тогда вклад каждой зоны одинаков --- нечётных зон --- с плюсом, а чётных зон --- с минусом. 


**Но это до тех пор пока верно использованное ранее приближение $\cos \psi \approx 1$**, в том случае, когда $\Delta \ll b$.
 
В противном случае --- надо учесть этот множитель. С учётом того, что пределах одной зоны угол $\psi $ практически не меняется, можно записать:
$$E_{B}=\frac{kE_{A}}{i\left(a+b\right)}{\displaystyle e^{ik\left(a+b\right)}\intop_{0}^{\Delta}} \cos \psi e^{ikR}\,dR\approx $$
$$
2 E_0 \sum_{m=1}^{N} (-1)^{m-1} \cos \psi _m.
$$