3.72. Найти угловое распределение интенсивности света при дифракции Фраунгофера на экране: 

а) с одной щелью шириной $b;$ Оценить относительные интенсивности максимумов, ближайших к главному.

б) с двумя щелями ширины $b$ и расстоянием $a$ между ними.

-----

{{:optics:выделение_257.png?direct&200 |}}В соответствии с принципом Гюйгенса Френеля (в приближении
Фраунгофера) каждый участок щели является источником плоских волн 
вида $$dE=\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-k\Delta)}dx,$$ где $\Delta=x\sin\varphi.$


Амплитуда суммарного поля от щели под углом $\varphi,$ которое для
наблюдения на экране собирается линзой в плоскости изображения, равна
$$
E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx=\left.\frac{E_{0}}{b}\frac{e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}}{\text{-}ik\sin\varphi}\right|_{0}^{b}=
$$
$$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\frac{e^{i\frac{1}{2}kb\sin\varphi}-e^{-i\frac{1}{2}kb\sin\varphi}}{ik\sin\varphi}=$$

$$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\frac{2\sin\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right)}{k\sin\varphi}=
$$
$$\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$
Тогда интенсивность

$$I\sim|E|^{2}\sim I_{0}\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$

Найдём максимумы:

$$\frac{dI}{du}=I_{0}\frac{d\left(\frac{\sin^{2}u}{u^{2}}\right)}{du}=\frac{2}{u^{2}}\sin u\cos u-\frac{2}{u^{3}}\sin^{2}u=0.$$

следовательно $\text{tg}u=u$.

Главный максимум будет при $u=0$ следующий недалеко от $u=\pi+\frac{\pi}{2}$.

Если задачу решать точно, например в Maple, то $u\approx\pi+1.35$ 
--- точность 15 %. 

Тогда $\text{sinc}^{2}u\approx0.047\approx\frac{1}{20}$


{{:optics:выделение_258.png?direct&200 |}}Рассмотрим, теперь две щели. 




Тогда новый интеграл будет интегралом
по двум щелям 

$$E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx+\int_{d}^{d+b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx\sin\varphi)}dx.$$

Произведём замену во втором интеграле $x'=x-d$

$$E=\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-kx\sin\varphi)}dx+e^{-ikd\sin\varphi}\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t\text{-}kx'\sin\varphi)}dx'=$$

$$\left(1+e^{-ikd\sin\varphi}\right)\int_{0}^{b}\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-kx\sin\varphi)}dx=$$
$$
\left(1+e^{-ikd\sin\varphi}\right)\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right)=$$

$$2e^{-\frac{1}{2}ikd\sin\varphi}\cos\left(\frac{1}{2}kd\sin\varphi\right)\frac{E_{0}}{b}e^{i(\omega t-\frac{1}{2}kb\sin\varphi)}\text{sinc}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$



Тогда интенсивность
$$I=4I_{0}\cos\left(\frac{1}{2}kd\sin\varphi\right)\text{sinc}^{2}\left(\frac{1}{2}kb\sin\varphi\right).$$