Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны,
падающей под углом $\varphi_{1}$ на плоскую границу между средами
с диэлектрическими $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$ и магнитными
проницаемостями $\mu_{1},\mu_{2}.$ (Вывести формулы Френеля.)

-----

На границе раздела свяжем тангенциальные компоненты электрического
и магнитного полей. 

Рассмотрим сначала TE--волну, т.е. такую линейно--поляризованную
волну в которой электрическое поле имеет только тангенциальную компоненту,
а магнитное поле как тангенциальную, так и нормальную.

{{ :optics:fr-te.png?300 |}}

$$E+E_{1}=E_{2}, \ \ \ H\sin\varphi+H_{1}\sin\varphi_{1}=H_{2}\sin\varphi_{2},$$

где $\varphi$ --- угол падения к нормали. Запишем магнитное поле
через электрическое:

$$[\vec{k}\times\vec{E}]=\frac{\omega}{c}\vec{B}=\frac{\omega\mu}{c}\vec{H},$$
вспоминая, что $k=k_{0}\sqrt{\varepsilon\mu}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon\mu}$

запишем

$$\sqrt{\varepsilon}[\vec{n}\times\vec{E}]=\sqrt{\mu}\vec{H},$$ где
$\vec{n}=\frac{\vec{k}}{k}$ --- направление распространения волны,
тогда выбрав за направление $z$ направление распространения падающей
волны, запишем условие для магнитного поля через электрическое:

$$\left\{ \begin{array}{l}
E+E_{1}=E_{2}\\
\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}E_{2}\cos\varphi_{2}
\end{array}\right.$$

найдём

$$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\left(E+E_{1}\right)\cos\varphi_{2}$$

$$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)$$

<WRAP center round box 60%>
$$E_{1}^{TE}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}},$$
</WRAP>

<WRAP center round box 60%>
$$E_{2}^{TE}=\frac{2E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}.$$
</WRAP>


Для расчёта коэффициента отражения и прохождения необходимо использовать
отношение потоков энергии, т.е. векторов Пойтинга 

$$\vec{S}=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\vec{H}]=\frac{c}{4\pi}[\vec{E}\times\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}[\vec{n}\times\vec{E}]]=\frac{c}{4\pi}E^{2}\vec{n}.$$

Коэффициент отражения: 
<WRAP center round box 60%>
$$\rho_{r}^{TE}=\frac{S_{1}}{S}=\frac{E_{1}^{2}}{E^{2}}=\left(\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}}\right)^{2},$$
</WRAP>


коэффициент прохождения найдём из закона сохранения энергии $\rho_{r}+\rho_{d}=1$: 

<WRAP center round box 60%>
$$\rho_{d}^{TE}=1-\rho_{r}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}.$$
</WRAP>


Для TМ--волны, т.е. линейно--поляризованной волны в которой магнитное
поле имеет только тангенциальную компоненту, а электрическое поле
как тангенциальную, так и нормальную, первоначальные уравнения поменяются
местами.

{{ :optics:fr-tm.png?300 |}}

$$\left\{ \begin{array}{l}
H+H_{1}=H_{2}\\
\left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2}
\end{array}\right.$$

Всё выражая через электрическое поле:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}=E_{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\\
\left(E-E_{1}\right)\cos\varphi_{1}=E_{2}\cos\varphi_{2}
\end{array}\right.$$

Решим систему:

$$\left(E-E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}$$

$$E\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)=E_{1}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)$$

<WRAP center round box 60%>
$$E_{1}^{TM}=E\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}$$
</WRAP>


<WRAP center round box 60%>
$$E_{2}^{TM}=\left(E+E_{1}\right)\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\right)^{-1}=\frac{E\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{1}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}.$$
</WRAP>


Тогда коэффициент отражения: 

<WRAP center round box 60%>
$$\rho_{r}^{TM}=\left(\frac{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}-\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}{\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}}\right)^{2}$$
</WRAP>

коэффициент прохождения: 

<WRAP center round box 60%>
$$\rho_{d}^{TM}=\frac{4\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}}{\left(\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\mu_{2}}}\cos\varphi_{1}+\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\mu_{1}}}\cos\varphi_{2}\right)^{2}}.$$
</WRAP>