Условие: В трёх углах квадрата со стороной \(\ell\), сделанного из тонких невесомых спиц, закреплены три шарика одинаковой массы \(m\). Квадрат подвешен за свободный угол. Найти частоту малых колебаний системы, если они происходят в плоскости квадрата.

Дано:

• Длина стороны квадрата: \(\ell\)
• Масса каждого шарика: \(m\)
• Ускорение свободного падения: \(g\)

Найти:

• Циклическую частоту \(\omega\) малых колебаний.

—

Расположим квадрат в координатной плоскости так, чтобы точка подвеса (свободный угол) находилась в начале координат \(A(0,0)\), а стороны вдоль осей:

• \(A(0,0)\) – точка подвеса (без шарика),
• \(B(\ell,0)\) – шарик массой \(m\),
• \(D(0,\ell)\) – шарик массой \(m\),
• \(C(\ell,\ell)\) – шарик массой \(m\).

Массы одинаковы, поэтому центр масс находится как среднее арифметическое координат трёх шариков: $$x_c = \frac{m \cdot \ell + m \cdot \ell + m \cdot 0}{3m} = \frac{2\ell}{3}, \quad y_c = \frac{m \cdot 0 + m \cdot \ell + m \cdot \ell}{3m} = \frac{2\ell}{3}.$$ Расстояние от точки подвеса до центра масс: $$h = \sqrt{x_c^2 + y_c^2} = \sqrt{\left(\frac{2\ell}{3}\right)^2 + \left(\frac{2\ell}{3}\right)^2} = \frac{2\ell}{3}\sqrt{2}.$$

Момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку подвеса перпендикулярно плоскости квадрата (ось вращения при колебаниях), равен сумме моментов инерции каждого шарика: $$I = m \cdot r_B^2 + m \cdot r_D^2 + m \cdot r_C^2,$$ где

• \(r_B = \ell\) (расстояние от \(A\) до \(B\)),
• \(r_D = \ell\) (расстояние от \(A\) до \(D\)),
• \(r_C = \sqrt{\ell^2 + \ell^2} = \ell\sqrt{2}\).

Тогда $$I = m\left(\ell^2 + \ell^2 + 2\ell^2\right) = 4m\ell^2.$$

При малом отклонении системы на угол \(\varphi\) от положения равновесия (вертикаль) возвращающий момент силы тяжести относительно точки подвеса равен $$M = - (3m) g \cdot h \cdot \sin\varphi \approx -3mg h \,\varphi,$$ где знак минус указывает на возвращающий характер. Уравнение вращательного движения: $$I \frac{d^2\varphi}{dt^2} = M \quad \Rightarrow \quad 4m\ell^2 \,\ddot{\varphi} = -3mg h \,\varphi.$$ Подставляем \(h = \frac{2\ell}{3}\sqrt{2}\): $$4m\ell^2 \,\ddot{\varphi} = -3mg \cdot \frac{2\ell}{3}\sqrt{2} \,\varphi = -2mg\ell\sqrt{2} \,\varphi.$$ Сокращаем на \(m\ell\) (при \(\ell \neq 0\)): $$4\ell \,\ddot{\varphi} = -2g\sqrt{2} \,\varphi \quad \Rightarrow \quad \ddot{\varphi} = -\frac{g\sqrt{2}}{2\ell} \,\varphi.$$

Полученное уравнение описывает гармонические колебания с циклической частотой $$\omega = \sqrt{\frac{g\sqrt{2}}{2\ell}}.$$ Эту формулу можно также записать в виде $$\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell\sqrt{2}}}.$$

—

Циклическая частота малых колебаний системы: $$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{g\sqrt{2}}{2\ell}}}.$$