Условие: Найти результирующее колебание при сложении \( N \) когерентных колебаний одинаковой амплитуды \( A \), частоты \( \omega \), фазы которых образуют арифметическую прогрессию с шагом \( \varphi_0 \).

Дано:

• Количество колебаний: \( N \).
• Амплитуда каждого: \( A \).
• Круговая частота: \( \omega \).
• Фаза первого колебания: \( \varphi_1 \).
• Шаг прогрессии фаз: \( \varphi_0 \).
• Фаза \( n \)-го колебания: \( \varphi_n = \varphi_1 + (n-1)\varphi_0 \).

Найти:

• Выражение для результирующего колебания (амплитуду и интенсивность).

—

Результирующее колебание представляет собой сумму отдельных гармонических колебаний: $$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_1) + A \cos(\omega t + \varphi_1 + \varphi_0) + \cdots + A \cos\bigl(\omega t + \varphi_1 + (N-1)\varphi_0\bigr).$$

Для удобства сложения перейдём к комплексной форме, используя формулу Эйлера: \(\cos\alpha = \operatorname{Re} e^{i\alpha}\). Тогда: $$x(t) = \operatorname{Re}\left[ A e^{i(\omega t + \varphi_1)} \left( 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} \right) \right].$$

Выражение в скобках — сумма \( N \) членов геометрической прогрессии с первым членом \(1\) и знаменателем \(e^{i\varphi_0}\): $$S = 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} = \frac{1 - e^{iN\varphi_0}}{1 - e^{i\varphi_0}}, \quad \text{при } \varphi_0 \neq 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$

Найдём амплитуду результирующего колебания как модуль комплексной амплитуды: $$A_{\text{рез}} = A \cdot |S| = A \cdot \frac{|1 - e^{iN\varphi_0}|}{|1 - e^{i\varphi_0}|}.$$ Используем тождество: \(|1 - e^{i\theta}| = 2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|\). Тогда: $$|1 - e^{iN\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|,\quad |1 - e^{i\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|.$$ Подставляем: $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Если \(I_0\) — интенсивность одного колебания, то: $$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}}.$$

• Если \(\varphi_0 = 2\pi m\) (где \(m\) — целое), то все колебания синфазны, и формула даёт неопределённость \(0/0\). Раскрывая предел, получаем \(A_{\text{рез}} = N A\), что соответствует полной синхронизации.
• Если \(\varphi_0 = \frac{2\pi m}{N}\) (но не кратно \(2\pi\)), то \(\sin\frac{N\varphi_0}{2} = \sin(\pi m) = 0\), числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю, поэтому \(A_{\text{рез}} = 0\) (интерференционные минимумы).
• Главные максимумы наблюдаются при \(\varphi_0 = 2\pi m\) (уже рассмотрено) и, в общем случае, при значениях \(\varphi_0\), близких к \(2\pi m/N\), формируется дифракционная картина.

—

Результирующая амплитуда \(N\) когерентных колебаний с одинаковыми амплитудами и фазами, образующими арифметическую прогрессию с шагом \(\varphi_0\), равна: $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$ Интенсивность результирующего колебания: $$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}},$$ где \(I_0\) — интенсивность одного колебания.