Это старая версия документа!

Электрическое поле $\vec{E}$ удовлетворяет уравнению $$ (1) \hspace{10pt} \text{rot} \, \vec{E}=0 $$ и, значит, является потенциальным, т. е. таким полем, в котором работа сил поля при перемещении заряда из одной точки в другую не зависит от пути, по которому производится его перемещение, а зависит только от расположения начальной и конечной точек. Потенциальность поля обусловливает существование такой скалярной функции, называемой потенциалом $\varphi$, разностью значений которой в конечной и начальной точках пути определяется работа по перемещению единичного заряда. Потенциал $\varphi $ вводится соотношением $$ (2) \hspace{10pt} \vec{E}=-\text{grad} \, \varphi. $$ Представленный таким образом вектор $\vec{E}$ является решением уравнения (1), поскольку ротор градиента всегда равен нулю.

Если в уравнении (2) $\varphi$ заменить на $\varphi + \text{const}$, то $\vec{E}$ от этого не изменится. Таким образом, потенциал является вспомогательной величиной и определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Численная величина не может быть измерена на опыте. Физическое значение имеет лишь разность потенциалов между двумя точками, что соответствует работе $A$ при перемещении единичного заряда между этими точками: $$ A=\int\limits_{c}^{d}(\vec{E}\,d \vec{\ell})= - \int\limits_{c}^{d}(\text{grad} \,\varphi \, d\vec{\ell})= $$ $$ =-\int\limits_{c}^{d}(\frac{\partial\varphi}{\partial x}dx+ \frac{\partial\varphi}{\partial y}dy+ \frac{\partial\varphi}{\partial z}dz)=-\int\limits_c^d d\varphi= \varphi(c)-\varphi(d). $$ Таким образом, потенциал в любой фиксированной точке можно сделать равным любой наперед заданной величине. Тогда потенциал всех остальных точек оказывается определенным однозначно.

Если заряды расположены в конечной области пространства, то обычно потенциал выбирается равным нулю на бесконечности.

Для системы точечных зарядов $$ (3) \hspace{10pt} \varphi=\sum_i\frac{q_i}{R_i}, $$ где $R_i$ — расстояние от заряда $q_i$ до точки, в которой вычисляется потенциал $\varphi$. При непрерывном распределении заряда $$ (4) \hspace{10pt} \varphi=\int\frac{dq}{R}=\int\limits_V\frac{\rho\, dv}{R}+ \int\limits_S\frac{\sigma \,ds}{R}+ \int\limits_L\frac{\eta \,d\ell}{R}, $$ где $\rho\,,\,\sigma\,,\,\eta$ — соответственно объемная, поверхностная и линейная плотности зарядов; $R$ — расстояние до точки, в которой вычисляется потенциал от зарядов $\rho dv$ в первом интеграле, $\sigma ds$ — во втором, $\eta d\ell$ — в третьем; $dv\,,\,ds\,,\,d\ell$ — соответственно элементарные объем, площадь, длина. Интегралы берутся по всему объему, где $\rho\ne 0$, по поверхности, где $\sigma\ne 0$, по линии, где $\eta\ne 0$.

Если заряды не расположены в конечной области пространства, то не всегда можно выбрать потенциал так, чтобы на бесконечности он был равен нулю, и путь прямого вычисления потенциала по формуле (4) может приводить к появлению расходимостей, поскольку эта формула является обобщением формулы (3) для потенциала от системы точечных зарядов, для которых потенциал принимается равным нулю на бесконечности. В этих случаях удобнее сводить задачу о нахождении потенциала к решению дифференциального уравнения Пуассона $$\Delta\varphi=-4\pi\rho.$$

Иногда проще сначала найти $\vec{E}$, например, по теореме Гаусса в задачах с определенной симметрией распределения заряда, а затем, обратив уравнение (1), найти потенциал по формуле $$ (5) \hspace{10pt} \varphi=-\int(\vec{E}\,d\vec{R})+\text{const}, $$ подобрав константу так, чтобы потенциал имел более простой вид.

а) Потенциал будем вычислять по формуле (4). Выделим на диске кольцо

радиуса $r$ ширины $dr$. На элементе длины кольца $d\ell~=~r\,d\alpha$ находится количество заряда $$dq=\sigma d\ell\,dr=\sigma r\,dr\,d\alpha.$$ Потенциал, создаваемый этим зарядом на оси на расстоянии $z$ от диска, равен $\frac{dq}{\sqrt{z^2+r^2}}$. Потенциал, создаваемый кольцом радиуса $r$ ширины $dr$, $$ d\varphi=\frac{2\pi\sigma r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}}. $$ Тогда $$ (6) \hspace{10pt} \varphi=2\pi\sigma\int\limits_0^R\frac{r\,dr}{\sqrt{z^2+r^2}} =2\pi\sigma\,\big(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\big), $$ откуда $$ (7) \hspace{10pt} E_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}= 2\pi\sigma\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr). $$

б) Пусть бесконечная заряженная плоскость занимает положение плоскости ($x, y$). В силу симметрии распределения зарядов, вектор $\vec{E}$ электрического поля может зависеть только от координаты $z$ и должен быть перпендикулярен плоскости. Он направлен к плоскости, если ее заряд отрицателен. Поэтому напряженность электрического поля для равномерно заряженной бесконечной плоскости можно найти предельным переходом при $R\to\infty$ в формуле (7) для поля, создаваемого диском радиуса $R$ на оси диска. Получаем $$E_z=2\pi\sigma\frac{z}{|z|}.$$

Заметим, что предельный переход в формуле (6) для потенциала приводит к бесконечности. Это случай возникновения трудности с применением формулы (4), о котором говорилось выше. Распределение потенциала находим, используя формулу (5): $$\varphi=-2\pi\sigma |z|+\text{const}.$$ Константу положим равной нулю. Это означает, что мы выбрали равным нулю потенциал самой плоскости. Окончательно $$\varphi=-2\pi\sigma |z|.$$

Напряженность электрического поля на заряженной плоскости терпит скачок, равный $4\pi\sigma$, как и следует из граничного условия $${E_{2n}|-E_{1n}|=4\pi\sigma.}$$

в) Поле, создаваемое плоскостью с отверстием, можно рассматривать как суперпозицию двух полей: поля плоскости без отверстия, заряженной с плотностью $\sigma$, и поля диска радиуса $R$, заполняющего отверстие и заряженного с плотностью $-\sigma$. Поэтому $$ E_z=2\pi\sigma\,\frac{z}{|z|}- 2\pi\sigma\,\biggl(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\biggr)= 2\pi\sigma\,\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}. $$ Распределение потенциала на оси отверстия $$ \varphi=\int E_z\,dz+\text{const}=-2\pi\sigma\,\sqrt{R^2+z^2}+\text{const}. $$ Константу можно выбрать равной нулю, это будет означать, что потенциал в центре отверстия $\varphi(0)=-2\pi\sigma R$.