Совместим начало сферической системы координат с центром шара. Ввиду сферической симметрии распределения заряда ясно, что вектор $\vec{E}$ может быть направлен только вдоль радиуса и зависеть только от величины радиуса. Поток вектора $\vec{E}$ через сферическую поверхность радиуса $R$ независимо от величины радиуса запишется так: $$ \Phi=\oint\limits_{S}(\vec{E}\,d\vec{s})= E\oint\limits_{S}ds=E\cdot4\pi R^2, $$ если $\vec{E}$ параллелен радиус-вектору $\vec{R}$ и $\Phi=-E\cdot 4\pi R^2,$ если $\vec{E}$ антипараллелен $\vec{R}$, поскольку косинус угла между $\vec{E}$ и $d\vec{s}$ будет равен (-1).

С другой стороны, $$ 4\pi\int\limits_{V}\rho dv=4\pi\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 \qquad\mbox{при}\qquad R\le a $$ и $$ 4\pi\int\limits_{V}\rho dv=4\pi\rho\cdot\frac{4}{3}\pi a^3 \qquad\mbox{при}\qquad R>a. $$ Поэтому

где $Q=\frac{4}{3}\pi a^3\rho$ — полный заряд шара.

Таким образом, равномерно заряженный шар создает во внешнем пространстве такое поле, как если бы весь заряд был сосредоточен в его центре. Этот результат остается справедливым при любом сферически симметричном распределении заряда по объему шара.

Для бесконечного равномерно заряженного цилиндра вектор напряженности электрического поля лежит в плоскостях, пердендикулярных оси цилиндра, и может зависеть только от расстояния от точки наблюдения до оси цилиндра. В цилиндрической системе координат с осью $Z$ вдоль оси цилиндра вектор напряженности $\vec{E}$ направлен вдоль $\vec{r}$. Построим два коаксиальных цилиндра длины $\ell$ с радиусами $r<a$ и $r>a$. Поток вектора $\vec{E}$ через поверхность каждого из цилиндров запишется так: $$ \Phi=\oint\limits_{S}(\vec{E}d\vec{s})= E\oint\limits_{S}ds=E\cdot2\pi r\ell. $$

При вычислении потока мы считали, что $\rho>0$, и, значит, вектор $d\vec{s}$ направлен по~$\vec{r}$. Поток вектора $\vec{E}$ через торцы цилиндров равен нулю, поскольку на них $\vec{E}$ и $\vec{r}$ перпендикулярны.

С другой стороны, $$ 4\pi\int\limits_{V}\rho\,dv=4\pi\frac{\eta}{\pi a^2}\int\limits_{V}dv= \frac{4\eta}{a^2}\pi r^2\ell \qquad \;\mbox{при}\qquad r<a, $$ $$ 4\pi\int\limits_{V}\rho\,dv=4\pi\rho\cdot\pi a^2\ell =4\pi\eta \ell \qquad\;\mbox{при}\qquad\; r\ge a. $$

Подставляя найденные значения в уравнение (1), получаем:

Пусть средняя плоскость пластинки занимает положение плоскости ($x, y$). В силу симметрии распределения заряда относительно плоскости ($x, y$), вектор $\vec{E}$ может зависеть только от координаты $z$ и направлен от плоскости, если пластина заряжена положительно, и к плоскости, если ее заряд отрицателен.

Построим куб с основаниями, симметрично расположенными по разные стороны от средней плоскости. Если $S$ — площадь каждого основания, то поток вектора $\vec{E}$ через оба основания равен $2ES$. Поток через боковую поверхность куба равен нулю, так как на ней векторы $\vec{E}$ и $d\vec{s}$ взаимно перпендикулярны. Значит, поток через поверхность куба равен $2ES$. С другой стороны, правая сторона выражения (1) будет равна: $4\pi\sigma S\cdot|z|$, если $z\le a$, и $4\pi\sigma S\cdot2a$, если $z>a$. Поэтому