1.25. Два очень больших металлических листа, расположенных один над другим, имеют поверхностную плотность зарядов $\sigma_1$ и $\sigma_2$ соответственно. Найти поверхностные плотности зарядов на внешних $\sigma' _1$, $\sigma' _2$ и внутренних $\sigma'' _1$, $\sigma'' _2$ сторонах листов.

Электрическое поле \(\vec E\) внутри металлических пластин равно \(0\), поэтому поток вектора \(\vec E\) через поверхность, ограниченную плоскостями внутри металла и вертикальными стенками, равен нулю. Тогда из теоремы Гаусса \[ 4\pi \left( {\sigma ''_1 + \sigma ''_2 } \right)=0, \] тогда, $\sigma ''_1 =- \sigma ''_2$.

С другой стороны внешнее поле от двух пластин по модулю равны, но противоположны, тогда $E=4\pi \sigma '_1$ и $E=4\pi \sigma '_2$, следовательно, $\sigma '_1=\sigma '_2$.

Исходя из закона сохранения заряда получим ещё два соотношения: \[ \sigma '_1 + \sigma ''_1 = \sigma _1. \] \[ {\sigma '_2 + \sigma ''_2 } =\sigma _2, \] Тогда второе уравнение перепишем с учётом полученных ранее соотношений: \[ \sigma '_1 - \sigma ''_1 = \sigma _2. \]

Решая полученную систему уравнений, получим