Это старая версия документа!
Рассмотрим два одинаковых по величине и разных по знаку заряда,
находящихся на расстоянии \(a\) друг от друга (как на рисунке). Потенциал такой системы в некоторой точке можно записать (по принципу суперпозиции) как
\[
\varphi = q\left( {\frac{1}{{r_1 }} - \frac{1}{{r_2 }}} \right) = q\frac{{r_2 - r_1 }}{{r_1 r_2 }} .
\]
Для вычисления этого выражения предположим, что
$r_1, r_2 \gg a.$
Домножим числитель и знаменатель полученного выражения \(r_1+r_2\) и пренебрежем различиями между \(r_1\) и \(r_2\) в знаменателе \[ \frac{{\left( {r_2 - r_1 } \right)\left( {r_2 + r_1 } \right)}}{{2r^3 }} = \frac{{r_2^2 - r_1^2 }}{{2r^3 }}. % = \frac{{2\vec r\vec a}}{{2r^3 }} \] Используя векторное соотношение, \(\vec a +\vec r_1=\vec r_2,\), можно получить \[ \varphi = \frac{{\vec r\vec p}}{{r^3 }},\] где \(\vec p=q\vec a\) и вектор $\vec{p}$, который называется дипольным моментом, направлен от $-q$ к $+q$. Поле в точке \(\vec кr\)
\[ \vec E = - \nabla \left( {\frac{{\vec r\vec p}}{{r^3 }}} \right) = - \frac{{\vec p}}{{r^3 }} + \frac{{3\vec r\left( {\vec r\vec p} \right)}}{{r^5 }} \]
При выводе этого соотношения использовались правила обращения с оператором \(\nabla\) \[ \nabla r = \frac{\vec r}r,\;\;\; \nabla (ab)=a\nabla b+b\nabla a. \]