Вычислим квадрупольный момент системы. Ось $\vec{OZ}$ выделенная направлением расположения зарядов. Поместим в центр с координатой $z=0$ второй заряд $q_2=-2q$, тогда первый и третий заряды будут соответственно с координатами $z_1=-a$, $z_3=a$. Итак \[ D_{zz} = \sum {q_i } \left( {3z_i^2 - r_i^2 } \right) = q(3a^2-a^2) -2q(0-0) + q(3a^2-a^2) = 4qa^2 = D, \] \[ D_{xx} = D_{yy} = - \sum {q_i r_i^2 } = - 2qa^2. \] Используя найденные квадрупольные моменты запишем потенциал \[ \varphi = \frac{{D_{\alpha \beta } n_\alpha n_\beta }}{{2R^3 }}, \] где соответствующие направления вектора $\vec R$, выраженные через углы сферических координат: \[ n_x = \sin \theta \cos \varphi , \] \[ n_y = \sin \theta \sin \varphi , \] \[ n_z = \cos \theta . \] Подставляя $$ \varphi = \frac{D_{xx} n_x^2 + D_{yy} n_y^2 + D_{zz} n_z^2 }{2R^3} = $$ $$ \frac{D}{2} \cdot \frac{1}{2R^2}\left(-n_x^2-n_y^2+2n_z^2 \right) = $$ $$ \frac{D}{4R^3}\left( - 1 + 3n_z^2 \right) $$ и окончательно:

Для вычисления определимся с координатами зарядов:

\[ D_{xx} = \sum {q_i \left( {3x_i^2 - r_i^2 } \right)} = 0 \] \[ D_{yy} = 0 \] \[ D_{zz} = 0 \] \[ D_{xy} = \frac{{3q^{(1)} a^2 }}{4} + \frac{{3q^{(2)} a^2 }}{4} + \frac{{3qa^2 }}{4} + \frac{{3qa^2 }}{4} = 3qa^2 \] \[ D_{yx} = D_{xy} = 3qa^2 \] \[ \phi ^{(2)} = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\left\{ {n_x n_y + n_y n_x } \right\} = \frac{{3qa^2 }}{{2R^3 }}\sin ^2 \theta \sin 2\phi \] % а) $ \varphi \left( {r,\theta } \right) \simeq \fracqa_2r_3\left( {3\cos ^2 \theta - 1} \right);$ б) $ \varphi \left( {r,\theta } \right) \simeq \frac3qa_22r_3\sin ^2 \theta \sin 2\alpha.$