2.1. Вывести граничные условия для электрического поля и индукции, если плотность свободных зарядов на границе равна $\sigma $.

Из интегральной форма уравнений Максвелла:

\begin{equation} \iint \limits_S D_n dS=4\pi q_\text{своб}\,,\,\,\oint E_\ell\,d\ell=0\,, \end{equation} где \(q_\text{своб}\) — свободный заряд в объеме интегрирования, взяв небольшой объём на границе раздела двух сред, в первом случае и небольшую петлю, во втором, следуют граничные условия:

\begin{equation} D_{2n}|-D_{1n}|=4\pi\sigma_\text{своб}\,, \mbox{или}\,\,\varepsilon_2 E_{2n}|-\varepsilon_1 E_{1n}|=4\pi \sigma_\text{своб}\,\,, E_{1\tau}|=E_{2\tau}|\,. \end{equation}