Это старая версия документа!

2.32. Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме полусферы радиуса $a$. Центр полусферы лежит на плоскости. На оси симметрии системы на расстоянии $b>a$ от плоскости находится точечный заряд $q$. Найти потенциал электрического поля, а также заряд $Q,$ индуцированный на выступе?

Для того чтобы вся сфера была эквипотенциальной с $\varphi =0$ поместим заряд $q'=-q\frac ab$ как в задаче 2.27 в точку $x=b'=\frac{a^2}{b}.$ Теперь, что бы добиться эквипотенциальности плоской границы, как в задаче 2.22, поместим заряды $-q$ и $-q'$ в точки $x=-b$ и $x=-b'$. Теперь поверхность плоскости с выступом у нас будет иметь потенциал $\varphi =0$, тогда приходим к тому, что в полупространстве потенциал описывается решением уравнения $\Delta \varphi = -4\pi q\delta(\vec r - \vec b)$, где $\vec b$ — вектор проведённый из начала координат в точке с зарядом $q$ с нулевым граничным условием на плоскости с выступом. В силу единственности решения, такое решение можно получить добавив три виртуальных заряда в соответствующие точки, тогда $$\varphi = \frac q{r_1} - \frac q{r_2} + \frac{q'}{r_3} - \frac{q'}{r_4},$$ где $r_i$ показаны на рисунке.

$ Q_\text{инд} = - q\left( {1 - \frac{{b^2 - a^2 }}{{b\sqrt {b^2 + a^2 } }}}\right).$