Это старая версия документа!

2.32. Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме полусферы радиуса $a$. Центр полусферы лежит на плоскости. На оси симметрии системы на расстоянии $b>a$ от плоскости находится точечный заряд $q$. Найти потенциал электрического поля, а также заряд $Q,$ индуцированный на выступе?

Для того чтобы вся сфера была эквипотенциальной с $\varphi =0$ поместим заряд $q'=-q\frac ab$ как в задаче 2.27 в точку $x=b'=\frac{a^2}{b}.$ Теперь, что бы добиться эквипотенциальности плоской границы, как в задаче 2.22, поместим заряды $-q$ и $-q'$ в точки $x=-b$ и $x=-b'$. Теперь поверхность плоскости с выступом у нас будет иметь потенциал $\varphi =0$, тогда приходим к тому, что в полупространстве потенциал описывается решением уравнения $\Delta \varphi = -4\pi q\delta(\vec r - \vec b)$, где $\vec b$ — вектор проведённый из начала координат к точке с зарядом $q$, с нулевым граничным условием на плоскости с выступом. В силу единственности решения, такое решение можно получить добавив три виртуальных заряда в соответствующие точки, тогда $$\varphi = \frac q{r_1} - \frac q{r_2} + \frac{q'}{r_3} - \frac{q'}{r_4},$$ где $r_i$ показаны на рисунке.

Расписав расстояния $r_i$ через расстояние $r$ и угол $\theta :$ $$ r_1=\sqrt{r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)}, \hspace{7pt} r_2=\sqrt{r^{2}+b^{2}+2rb\cdot\cos(\theta)} $$ и взяв производную по $r$ — найдём нормальную составляющую электрического поля и поверхностную плотность зарядов: $$ \frac{\partial}{\partial r}\left.\left(\frac{q}{\sqrt{r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)}}-\frac{q}{\sqrt{r^{2}+b^{2}+2rb\cdot\cos(\theta)}}+\frac{-q\frac{a}{b}}{\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}-2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}}-\frac{-q\frac{a}{b}}{\sqrt{r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}+2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)}}\right)\right|_{r=a}= $$ $$ \left.q\left(\frac{r-b\cdot\cos(\theta)}{\left(r^{2}+b^{2}-2rb\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{r+b\cdot\cos(\theta)}{\left(r^{2}+b^{2}+2rb\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{\frac{a}{b}\left(r-\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}-2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{\frac{a}{b}\left(r+\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(r^{2}+(\frac{a^{2}}{b})^{2}+2r\frac{a^{2}}{b}\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\right|_{r=a}= $$ $$ q\left(\frac{a-b\cdot\cos(\theta)}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{a+b\cdot\cos(\theta)}{\left(a^{2}+b^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2}\left(b-a\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(\frac{a}{b}\right)^{3}\left(b^{2}+a^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^{2}\left(b+a\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(\frac{a}{b}\right)^{3}\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)= $$ $$ q\left(\frac{a-b\cdot\cos(\theta)}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{\frac{b}{a}\left(b-a\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(b^{2}+a^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{a+b\cdot\cos(\theta)}{\left(a^{2}+b^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{\frac{b}{a}\left(b+a\cdot\cos(\theta)\right)}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)= $$ $$ q\left(\frac{a^{2}-b^{2}}{a\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{b^{2}-a^{2}}{a\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)= $$ $$ q\frac{b^{2}-a^{2}}{a}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) $$ $$ \sigma=q\frac{b^{2}-a^{2}}{4\pi a}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right) $$ $$ Q=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma\,dS=\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma2\pi a^{2}\sin\theta\,d\theta=qa\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\sin\theta\,d\theta= $$ $$ -qa\frac{b^{2}-a^{2}}{2}\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{\left(b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{\left(a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)\right)^{\frac{3}{2}}}\right)\,d(\cos\theta)= $$ $$ q\frac{b^{2}-a^{2}}{2b}\left.\left(\frac{1}{\sqrt{b^{2}+a^{2}+2ab\cdot\cos(\theta)}}+\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\cos(\theta)}}\right)\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}= $$ $$ q\frac{b^{2}-a^{2}}{2b}\left(\frac{2}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{b^{2}+a^{2}+2ab}}-\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab}}\right)= $$ $$ q\frac{b^{2}-a^{2}}{2b}\left(\frac{2}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}-\frac{1}{b+a}-\frac{1}{b-a}\right)= $$ $$ q\frac{b^{2}-a^{2}}{b}\left(\frac{1}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}-\frac{b}{b^{2}-a^{2}}\right)= $$ $$ -q\left(1-\frac{b^{2}-a^{2}}{b\sqrt{b^{2}+a^{2}}}\right) $$