Это старая версия документа!

Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа и из

симметрии задачи может зависеть только от $R$ и угла $\theta$ (см. рисунок). Кроме того, на границе \begin{wrapfigure}[6]{l}{3.5cm} \vspace{-10pt} \includegraphics[width=2.8cm]{RIS19.eps} \end{wrapfigure}

 раздела диэлектриков ($z=0$) должны

удовлетворяться граничные условия: 1) непрерывность касательной составляющей напряженности электрического поля $E_{1\tau}|_{z=0}=\negthickspace E_{2\tau}|_{z=0}$ или потенциала электрического

поля $\varphi_1|_{z=0}=\varphi_2|_{z=0}$;
2) непрерывность  нормальной составляющей

вектора электрической индукции

$D_{1n}|_{z=0}=D_{2n}|_{z=0}\;$,

поскольку $\Div\vec{D}=4\pi\rho$,

где $\rho$ -- плотность свободных зарядов в диэлектрике, а везде кроме начала координат свободные заряды отсутствуют.

      Попробуем  найти решение в виде потенциала  от точечного
заряда в вакууме, умноженного на константу:

$$\varphi_1=a_1\frac{q}{R} \qquad \mbox{при}\qquad z\leq 0,$$ $$\varphi_2=a_2\frac{q}{R} \qquad \mbox{при}\qquad z\geq 0.$$

Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Из непрерывности

потенциала при $z=0$ следует равенство констант $a_1=a_2=a$, значит, $\varphi=aq/R$. Равенство касательных составляющих электрического поля удовлетворяется автоматически,

поскольку

$$\vec{E}=-\grad\,\varphi=aq\vec{R}/R^3.$$ Кроме того, на \, границе раздела, вообще, нормальная составляющая $E_n=0$, так как вектор $\vec{R}$ лежит в плоскости раздела при $z=0$. Отсюда следует, что выполняется второе условие: $D_{1n}|_{z=0}\!=\!D_{2n}|_{z=0}\!=\!0$, так как $$\vec{D}_1=\varepsilon_1\vec{E}=\varepsilon_1aq\frac{\vec{R}}{R^3} \;,\;\;\vec{D}_2=\varepsilon_2\vec{E}= \varepsilon_2aq\frac{\vec{R}}{R^3}\;.$$

 Чтобы найти коэффициент $a$, вычислим поток вектора $\vec{D}$
через сферу радиуса $R$ с центром в заряде:

$$\Phi=D_12\pi R^2+D_2 2\pi R^2\;.$$

С другой стороны, по теореме Гаусса $\Phi=4\pi q$.
Приравнивая эти два выражения, получаем

$a=2/(\varepsilon_1+\varepsilon_2)$.

Итак,

$$\varphi=\frac{2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} \frac{q}{R}\;,\qquad \vec{E}=\frac{2q}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} \frac{\vec{R}}{R^3}\;,$$ $$\vec{D}_1=\frac{2\varepsilon_1}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} \frac{q\vec{R}}{R^3}\;\qquad \mbox{при}\qquad z<0\;,$$ $$\vec{D}_2=\frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2} \frac{q\vec{R}}{R^3}\;\qquad \mbox{при}\qquad z>0\;.$$

Найденная функция потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа

и граничным условиям, значит, она является решением рассматриваемой задачи.