2.5. Центр проводящего шара радиуса $R$ (заряд $q$) находится на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$. Найти потенциал электрического поля, а также распределение свободных и связанных зарядов на поверхности шара.

Решение этой задачи аналогично решению предыдущей задачи 2.4. Поэтому на границе металл диэлектрик \[ \varphi _{1,2} = \frac{2}{{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 }}\frac{q}{R},\;\; \] Из теоремы Гаусса \[ E_n = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}}|_{r=R} = 4\pi (\sigma _{\text{своб.}} + \sigma _{\text{связ.}}) \] \[ D_{n_i} = \varepsilon _{i} E_n = 4\pi \sigma _{\text{своб.}} \] \[ D_{in} = - \varepsilon _{i} \frac{{\partial \varphi }}{{\partial r}}|_{r=R} = \frac{{2\varepsilon _{i} }}{{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 }}\frac{q}{{R^2 }} = 4\pi \sigma _{\text{своб.}}^{(i)} \] Окончательно получаем \[\varphi _i = \frac{{2q}}{{\varepsilon _1 + \varepsilon _2 }}\frac{1}{r},\,\,\, \sigma _{\text{своб}}^{(i)} = \frac{{q\varepsilon _{i} }}{{2\pi R^2 \left( {\varepsilon _1 + \varepsilon _2 } \right)}},\,\,\,\sigma _{\text{связ}}^{(i)} = \frac{{q(1-\varepsilon _i)}}{{2\pi R^2 \left( {\varepsilon _1 + \varepsilon _2 } \right)}}.\]