2.6. От прямой, на которой находится точечный заряд $q$, расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ таких, что $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=2\pi$. Пространство внутри каждого из углов заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью соответственно $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ Определить потенциал, напряженность и индукцию электрического поля в трех областях.

Аналогично использованному в задаче 2.4 методу предположим, что общий вид решения для потенциала \[\varphi_i=a_i \frac{q}{r}.\] Из граничных условий равенства потенциала на соответствующих границах получаем как и ранее \[\varphi _1 = \varphi _2 = \varphi _3\] Единственный неизвестный коэффициент в выражении \(\varphi_i = \frac{{cq}}{r}\) находится из теоремы Гаусса \[ \int {(\vec D \cdot d \vec s) = 4\pi q}. \] Площадь сферы радиуса \(R\) равна \(S = 4\pi R^2 \) Для определения площади сегмента на радиусе \(R\) введем ось \(z\) вдоль линии раздела диэлектриков, тогда площадь каждого сегмента будет определяться углом $\alpha _i$ \[ S_{{сег}_i} = \frac{\alpha _i}{{2\pi }}4\pi R^2=2\alpha _i R^2. \] Интеграл по поверхности при вычислении потока \(\vec D\) разбивается на три части и в итоге получаем \[ 2\left( {D_{1n} \alpha _1 + D_{2n} \alpha _2 + D_{3n} \alpha _3 } \right)R^2 = 4\pi q \] \[ 2c\left( {\varepsilon _1 \alpha _1 + \varepsilon _2 \alpha _2 + \varepsilon _3 \alpha _3 } \right)q = 4\pi q. \] Тогда константа \(c\) равна \[ c=\frac{2\pi }{{\varepsilon _1 \alpha _1 + \varepsilon _2 \alpha _2 + \varepsilon _3 \alpha _3 }} \] И окончательно получаем \[ \begin{split} \varphi _i &= \frac{{2\pi q}}{{\varepsilon _1 \alpha _1 + \varepsilon _2 \alpha _2 + \varepsilon _3 \alpha _3 }}\frac{1}{r},\\ \vec E_i & = \frac{{2\pi q}}{{\varepsilon _1 \alpha _1 + \varepsilon _2 \alpha _2 + \varepsilon _3 \alpha _3 }}\frac{{\vec r}}{{r^3 }},\\ \vec D_i &= \varepsilon _i \vec E_i, \;\;\text{где} \;\;i=1,2,3. \end{split} \]