2.8. a) Однородный шар радиуса $a$ с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$ погружен в однородный неограниченный диэлектрик $\varepsilon_2$. На большом расстоянии от шара в диэлектрике имеется однородное электрическое поле $\vec{E}_0$. Найти потенциал и напряженность электрического поля во всем пространстве, а также распределение связанных зарядов на шаре и его поляризованность.

Решение рассматриваемой задачи сводится к решению уравнения Лапласа $\Delta\varphi=0$. В сферической системе координат с центром в центре шара и с осью $Z$ вдоль $\vec{E}_0$, в области $R\geq a\,$ решение будем искать в виде (см. решение задачи 1.51 — о металлическом шаре в однородном поле). $$ \varphi_2=-E_0z+A_2\frac{\vec{E}_0\vec{R}}{R^3}= -E_0R\cos\theta+A_2\frac{E_0\cos\theta}{R^2}. $$ Введение члена ($-E_0z\,$) оправдывается тем, что на больших расстояниях от шара поле должно быть невозмущенным. Второй член учитывает поле от поляризованного шара в виде поля от дипольного момента $\sim E_0$. Для $R\leq a$ решение будем искать в виде $$ \varphi_1=C_1E_0z\equiv C_1E_0R\cos\theta\;, $$ т.е. предполагаем, что поле внутри шара однородно. Мы уже знаем из решения задачи для проводящего шара в однородном электрическом поле, что, для того чтобы скомпенсировать внешнее поле, шар приобретает дипольный момент. Заряды на поверхности распределятся таким образом, чтобы поле от них внутри шара равнялось внешнему полю $\vec{E}_0$ и было противоположно ему направлено. Каждый из потенциалов является решением уравнения Лапласа. Если мы подберем константы $C_1$ и $A_2$ так, чтобы удовлетворялись граничные условия, то функции $\varphi_1$ и $\varphi_2$ будут единственным решением поставленной задачи.

Из условия непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля $E_{1t}=E_{2t}$ на поверхности шара: $$ \frac 1R \frac{\partial\varphi_1}{\partial \theta}\bigg|_{R=a}= \frac 1R \frac{\partial\varphi_2}{\partial \theta}\bigg|_{R=a} $$

и нормальной составляющей электрической индукции $$ \varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg|_{R=a}= \varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial R}\bigg|_{R=a} $$ получим систему их двух уравнений: $$ C_1=-1+\frac{A_2}{a^3} \hspace{7pt} \text{и} \hspace{7pt} \varepsilon_1 C_1= \varepsilon_2 (-1 -2\frac{A_2}{a^3}). $$ Решая систему найдём: $$ C_1=-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2},\qquad A_2=a^3\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}. $$

Итак, шар приобретает дипольный момент $$ \vec{d}=\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2} {\varepsilon_1+2\varepsilon_2}a^3\vec{E}_0. $$ Распределение потенциала будет иметь вид $$ \varphi_1=-\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0z \;\qquad \mbox{при}\qquad R\leq a\;, $$ $$ \varphi_2=-E_0z+\frac{\vec{d}\vec{R}}{R^3}= -E_0R\cos\theta+A_2\frac{E_0\cos\theta}{R^2} \;\qquad \mbox{при}\qquad R\geq a\;. $$ Взяв градиент от потенциала найдём напряженность электрического поля \[ \begin{split} \vec{E}_1=&\frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}\vec{E}_0\;\;\hspace{26pt} \text{при}\qquad R< a,\\ \vec{E}_2=&\vec{E}_0-\frac{\vec{d}}{R^3}+ \frac{3(\vec{d}\vec{R})\vec{R}}{R^5} \;\; \text{при}\qquad R> a. \end{split} \] Напряженность электрического поля внутри шара больше $E_0$, если $\varepsilon_2>\varepsilon_1$, и меньше $E_0$, если $\varepsilon_2<\varepsilon_1$.

Суммарная поверхностная плотность связанных и свободных зарядов связана со скачком электрического поля. Но свободных зарядов нет, следовательно: $$ \sigma_\text{св}= E_{2n}\big|_{R=a}-E_{1n}\big|_{R=a}. $$ Орт нормали $\vec{n}$ проведен из первой среды во вторую. Вычислим $E_{1n}$ и $E_{2n}$ на поверхности шара: $$ E_{1n}\big|_{R=a}=-\frac{\partial\varphi_1}{\partial R}\bigg|_{R=a}= \frac{3\varepsilon_2}{\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0\cos\theta\;, $$ $$ E_{2n}\big|_{R=a}=-\frac{\partial\varphi_2}{\partial R}\bigg|_{R=a}= E_0\cos\theta+\frac{2(\varepsilon_1-\varepsilon_2)} {\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0\cos\theta\;. $$ Окончательно $$ \sigma_\text{св}=\frac{3}{4\pi}\;\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2} {\varepsilon_1+2\varepsilon_2}E_0\cos\theta\;. $$