Это старая версия документа!

3.5. Пространство между бесконечно длинными коаксиальными идеально проводящими цилиндрами радиусов $a,b$ заполнено веществом с проводимостью $\sigma(r)=\alpha r^n$. Найти распределение потенциала в пространстве между цилиндрами и сопротивление на единицу длины. Потенциалы цилиндров: $U(a)=0,$ $U(b)=U_0$.

\[ \text{div}\vec j = 0 \] \[ \text{div}\left( {\sigma \vec E} \right) = - \left( {\nabla ,\sigma \nabla \varphi } \right) = 0 \] \[ \sigma \Delta \varphi + \left( {\nabla \sigma ,\nabla \varphi } \right) = 0 \] В цилиндрической системе координат \(\frac{\partial }{{\partial \varphi }} = 0\), \(\frac{\partial }{{\partial z}} = 0\). \[ \alpha r^n \frac{1}{r}\frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{d\varphi }}{{dr}}} \right) + \alpha nr^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0 \] \[ r^n \frac{{d^2 \varphi }}{{dr^2 }} + \left( {n + 1} \right)r^{n - 1} \frac{{d\varphi }}{{dr}} = 0 \] \[ \varphi \left( r \right) = Ar^k + B \] \(k_1 = - n\) \(k_2 = 0\), \(\varphi \left( a \right) = V_0\) \(\varphi \left( b \right) = 0\) \[ \varphi \left( r \right) = V\frac{{\left( {{\raise0.7ex\hbox{$b$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {b r}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$r$}}} \right)^n - 1}}left_raise0.7ex_hbox_b_mathord_left_vphantom_b_a\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$a$}}} \right)^n - 1}} \] Ток на единицу длины вдоль \(z\) \[ I = 2\pi rj = - 2\pi r\sigma \left( r \right)\nabla \varphi = 2\pi V\frac{{\alpha b^n }}{{\left( {{\raise0.7ex\hbox{$b$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {b a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$a$}}} \right)^n - 1}} = \frac{V}{R} \] \[ R = \frac{{\left( {{\raise0.7ex\hbox{$b$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {b a}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$a$}}} \right)^n - 1}}2_pi_sigma_max \] При \(\sigma = const\)задача о токе соответствует \(\Delta \varphi = 0\). Это можно использовать для аналогового (модельного) решения уравнения Лапласа. % $ \varphi \left( r \right)\negthickspace =\negthickspace Uleft_1_-_left_a_mathord_left_vphantom_a_r \right. \kern-\nulldelimiterspace} r}} \right)^n } \right]} \mathord{\left/ {\vphantom left_1_-_left_a_mathord_left_vphantom_a_r \right. \kern-\nulldelimiterspace} r}} \right)^n } \right]} {\left[ {1 - \left( a_mathord_left_vphantom_a_b \right. \kern-\nulldelimiterspace} b}} \right)^n } \right]}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left[ {1 - \left( a_mathord_left_vphantom_a_b \right. \kern-\nulldelimiterspace} b}} \right)^n } \right]}};$ $ R\negthickspace =\negthickspace \left[ {\left( b_mathord_left_vphantom_b_a \right. \kern-\nulldelimiterspace} a}} \right)^n\negthickspace - \negthickspace 1} \right]/\left( {2\pi \sigma _{\text{max}} n} \right)$,\\ где $\sigma _{\text{max} } = \alpha b^n$.