6.24. Две параллельные шины замкнуты на нижнем конце неподвижной перемычкой с размерами $a\times b$, а сверху — «поршнем» веса $P$ и размерами $a\times b$. Все материалы сверхпроводящие, поле между шинами $H_0$. Трением пренебречь. Найти зависимость $h(t)$, считая поле внутри контура однородным $(h\gg a,b)$ и пренебрегая обратным полем.

Поток через прямоугольное сечение \(h\times a\) сохраняется, поэтому \[ \Phi_0 = h_0 a H_0=\Phi=h a H, \] откуда получаем в любой момент времени \[ H=\frac{H_0 h_0}{h}. \] Давление со стороны замкнутого пространства (вверх) \[ p=\frac{H^2}{8\pi}=\frac{H_0^2 h_0^2 }{8\pi h^2 }. \] Тогда уравнение движения поршня весом \(P\) \[ m\ddot h = -P + \frac{{H^2 }}{{8\pi }}ab = -P + \frac{{H_0^2 h_0^2 }}{{h^2 8\pi }}ab \] или, учитывая, что \(P=mg\) и вводя обозначение \(A=\frac{H_0^2 h_0^2 }{ 8\pi m}ab\), получаем \[ \ddot h = -g + \frac{A}{h^2}. \]

Введя переменную \(F(h)=\dot h\), получим уравнение \[ F\frac{d F}{dh} = - g+ \frac{A}{h^2}. \] \[ \frac{dF^2}{2}=-g dh+\frac{A}{h^2} dh, \] откуда \[ F^2 = - 2gh - 2\frac{A}{h}+C_1. \] При \(h=h_0\) (в начальный момент времени) \(F=0\), откуда получаем \[ C_1 = 2gh_0 + 2\frac{A}{{h_0 }}. \] Уравнение \(F(h)=0\) имеет еще одно решение, т.е. \[ F^2=0=2g(h_0-h)- 2A\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{h_0}\right), \] откуда \[ h_1=\frac{A}{g h_0}=h_0\frac{H_0^2 a b}{8\pi mg}. \] таким образом поршень будет осуществлять колебания между \(h_0\) и \(h_0 \frac{{H_0^2 ab}}{{8\pi mg}}.\) Представляет интерес найти частоту малых колебаний. Предположим, что отклонение \(\delta h\)от точки равновесия мало. Определим сначала точку равновесия. Эта точка определяется условием равенства нулю силы в уравнении движения, т.е. \[ -g + \frac{A}{h_1^2}=0,\,\,\,\text{откуда}\,\,\,h_1^2=\frac{g}{A}. \] Тогда уравнение движения можно записать относительно переменной \(\delta h=h-h_1\) в виде \[ \ddot{\delta h}= -g + \frac{A}{h^2}=-g\left(1-\frac{1}{(1+x)^2}\right), \] где \(x=\delta h/h_1\). Окончательно, уравнение движения можно приближенно (при \(x\ll 1\)) записать в виде \[ \ddot{x}=-\frac{g}{h_1}\left(1-1+2x\right)=-\frac{2g}{h_1}x=-\omega^2 x, \] откуда, частота малых колебаний \(\omega=\sqrt{\frac{g}{2 h_1}}\).