6.76. Полупространство $Z\geq 0$ заполнено проводником с проводимостью $\sigma$ и магнитной проницаемостью $\mu$. Параллельно плоскости $Z=0$ имеется электрическое поле $\vec{E}=\vec{E}_0e^{-i\omega t}$. Найти:

а) поле в полупространстве;

б) среднюю за период мощность $\overline{P}=\int \limits_0^\infty(\overline{\vec{j}\vec{E}})dz$, выделяющуюся в бесконечном столбике от нуля до $\infty$ по $Z$ и с единичной площадью сечения ($1\times 1$).

Поскольку плотность токов смещения в проводящей среде мала по сравнению с током проводимости, то уравнения Максвелла, описывающие распределение переменных полей и токов в проводниках, принимают вид $$\text{rot}\,\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\,,$$ $$\text{rot}\,\vec{H}=\frac{4\pi\sigma}{c}\,\vec{E}\,,$$ $$ \text{div}\,\vec{B}=0, $$ $$\text{div}\,\vec{D}=0,$$ \begin{equation}\vec{j}=\sigma\,\vec{E},\qquad \vec{B}=\mu\,\vec{H},\qquad \vec{D}=\varepsilon\,\vec{E},\end{equation} где$\,\sigma$ — проводимость среды. Используя эти уравнения, можно получить дифференциальное уравнение, содержащее только вектор напряженности электрического или магнитного полей: \begin{equation} (1) \hspace{10pt} \nabla^2\vec{E}= \frac{4\pi\mu\sigma}{c^2}\;\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\,. \end{equation}

Из симметрии рассматриваемой задачи ясно, что $\,\vec{E}$ может зависеть только от координаты $z$ и времени. Граничное условие для электрического поля на поверхности проводника очевидно из первого уравнения системы уравнений: $\,E_{1\tau}=E_{2\tau}$. В силу этого условия электрическое поле в проводнике у его поверхности равно $\;\vec{E}=\vec{E_0}\,\exp (-i\omega\,t)$. В переменном поле с частотой $\;\omega$ зависимость всех величин от времени описывается множителем $\;\exp(-i\omega\,t)$. Тогда уравнение (1) для напряженности электрического поля, зависящей только от координат, примет вид $$\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial z^2}+ k^2\vec{E}=0\,,$$ где $$k=\sqrt{-\,\frac{4\pi\mu\sigma\omega\;i}{c^2}}= \pm\frac{\sqrt{2\pi\mu\sigma\omega\,}}{c}(1-i)= \pm\frac{1-i}{\delta}\,,\quad \delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\mu\sigma\omega\,}}\,.$$ Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при $\;z \to\infty$, пропорционально $\;\exp\big(-(1-i)\frac{z}{\delta}\big)$. Учитывая граничное условие при $\,z=0$, получаем $$\vec{E}=\vec{E_0}\,e^{\textstyle-\frac{z}{\delta}}\, e^{\textstyle-i(\omega\,t-\frac{z}{\delta})},\qquad \vec{j}=\sigma\,\vec{E_0}\, e^{\textstyle-\frac{z}{\delta}}\, e^{\textstyle-i(\omega\,t-\frac{z}{\delta})}.$$ Таким образом, по мере проникновения вглубь проводника амплитуда напряженности электрического поля, а с ней и амплитуда тока убывает по экспоненциальному закону. При этом основная часть тока сосредоточена в поверхностном слое толщиной $\,\delta$. Величина скин-слоя $\,\delta$ уменьшается с частотой $\;\delta \sim\;1/\sqrt{\omega\,}$. Условие применимости макроскопических уравнений поля, о которых говорилось выше, требует, чтобы $\,\delta$ было велико по сравнению с длиной свободного пробега электронов проводимости. При увеличении частоты это условие в металлах нарушается первым.

Средняя по времени энергия $\,\overline{dP}$, диссипируемая в элементе объема $\,dV$ проводника в единицу времени, равна $$\overline{dP}= \overline{(\vec{j}\,\vec{E})}\,dV= \sigma\,\overline{E^2}\,dV\,,$$ где черта означает усреднение по времени. Здесь $\,\vec{j}$ и $\,\vec{E}$ вещественные.

Энергия, выделяемая в бесконечном столбике с единичной площадью сечения: $$\overline{P}=\int\limits_0^{\infty} \sigma\,\overline{E^2}\,dz\,.$$ Если $\,\vec{j}$ и $\,\vec{E}$ взять в комплексном виде, то среднее по времени значение их произведения можно вычислить так: $$\overline{P}=\frac{1}{2}\,\int\limits_0^{\infty} {\cal R}e\;(\vec{j}\,\vec{E}\;^\ast)\,dz=\frac{\sigma\,E_0^2}{2} \int\limits_0^{\infty}e^{-2z/\delta}\,dz= \frac{E_0^2\sigma\,\delta}{4}.$$