6.77. Полупространство $Z\geq 0$ заполнено проводником с проводимостью $\sigma$. Параллельно плоскости $Z=0$ включено переменное электрическое поле, представляющее собой сумму двух полей с разными амплитудами $E_0$ и $E_1$. Частоты различаются на порядок $\omega$ и $10\omega$ соответственно. Найти среднюю за большой период мощность $\overline{W}$, выделяющуюся в бесконечном столбике по $Z$ от нуля до бесконечности с единичной площадью сечения.

Основное уравнение, описывающее скин-эффект, имеет вид \[ \Delta \vec E = \frac{{4\pi \sigma \mu }}{{c^2 }}\frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}}, \] и граничное условие \[ \vec E(0,t)=\vec E_0 e^{-i\omega_0 t}+\vec E_1 e^{-i\omega_1 t}. \] Легко убедиться, что решение в виде линейной комбинации удовлетворяет как исходному уравнению, так и граничным условиям. \[ \vec E(z,t)=\vec E_0 e^{-z/\delta_0}e^{-i\omega t-z/\delta_0}+\vec E_1 e^{-z/\delta_1}e^{-i\omega t-z/\delta_1}. \] Плотность тока подчиняется закону Ома \(\vec j=\sigma \vec E\). Тогда средняя мощность, выделяющаяся в единице объема \[ \overline W =\sigma \int\limits_0^\infty \overline{\left(\vec E \right)^2}\ d z. \] Среднее от квадрата поля можно записать в виде \[ \overline{\left(\vec E \right)^2}=\frac{1}{2}\left[E_0^2e^{-2z/\delta_0} +E_1^2e^{-2z/\delta_1}\right]+2 E_0 E_1\overline{\cos[(\omega_0-\omega_1)t]}. \] Поскольку среднее по большому интервалу времени от косинуса равно нулю, получим \[ \overline W =\frac{\sigma}{2} \int\limits_0^\infty\left[E_0^2e^{-2z/\delta_0} +E_1^2e^{-2z/\delta_1}\right]\ d z=\frac{1}{4}\sigma \left( {E_0^2 \delta _0 + E_1^2 \delta _1 } \right), \] где \( \delta _i = c/\sqrt {2\pi \sigma \mu \omega _i } ,\;i=0,1\;\text{и}\;\;\omega _1 = 0,1\omega_0.\)