6.79. Найти активное сопротивление тонкого цилиндрического проводника (длина — $\ell$, радиус — $a$, проводимость — $\sigma$; $\mu=1$) в предельных случаях слабого и сильного скин–эффекта.

Внутри провода ввиду его осевой симметрии в цилиндрической системе координат с осью $\,Z$ вдоль оси провода поле $\;\vec{E}$ \, имеет лишь $\,z$-компоненту и зависит только от координаты $\,r$. Для периодического поля с частотой $\,\omega$ получаем уравнение (см. задачу 6.76) Бесселя $$\frac{\partial^2 E}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\; \frac{\partial E}{\partial r}+ k^2 E=0\,,$$ где $$k=\pm\frac{1-i}{\delta}\,,\quad \delta=\frac{c}{\sqrt{2\pi\mu\sigma\omega\,}}\,,\qquad E=E_z\,.$$

Общим решением этого уравнения будет выражение $$E_z=A_1\,{\cal I}_0(kr)+A_2\,Y_0(kr)\,,$$ где $\;{\cal I}_0(kr)\,,\;\,Y_0(kr)$ — цилиндрические функции нулевого порядка соответственно первого и второго рода. Так как $\,E$ не может обратиться в бесконечность на оси провода, то $\,A_2$ следует положить равным нулю: $\;A_2=0$, поскольку $\;Y_0(0)=\infty$. Таким образом, $E_z=A_1\,{\cal I}_0(kr).$

Используя разложение функции Бесселя при $\;kr \ll 1$, что соответствует предельному случаю малых частот ($\,a/\delta \ll 1$), $${\cal I}_0(kr)=1-\;\frac{(kr/2)^2}{(1!)^2}+ \;\frac{(kr/2)^4}{(2!)^2}-\ldots $$ для напряженности электрического поля получаем $$E_z\,\simeq\,A_1\Bigg[1-\frac{i}{2}\,\bigg(\frac{r}{\delta}\bigg)^2- \frac{1}{16}\,\bigg(\frac{r}{\delta}\bigg)^4\,\Bigg] \,e^{-i\omega\,t}\,.$$ По такому же закону распределена плотность тока $\,j_z=\sigma E_z$. Сопротивление проводника переменному току силы $\,J$ найдем как отношение среднего количества энергии $\;\overline{W\,}$, выделяемой в проводнике за единицу времени, к среднему за период значению квадрата силы тока $\;\overline{J^2\,}$: $$R=\frac{\overline{W\,}}{\overline{J^2\,}}\,,$$ $$\overline{W}=\frac{\sigma\,\ell}{2}\int\limits_0^{a} {\cal R}e\;(E_z\cdot E_z\;^\ast)\,2\pi r\,dr\,\simeq\, \frac{\pi a^2\ell\,\sigma\,A_1^2}{2} \Bigg(1+\frac{1}{24}\bigg( \frac{a}{\delta}\bigg)^4\Bigg).$$ Найдем полный ток, текущий по проводнику: $$J=\int\limits_0^{a}j_z\,2\pi r\,dr= \pi a^2\,\sigma\,A_1\Bigg[1-\frac{i}{4}\,\bigg(\frac{a}{\delta}\bigg)^2- \frac{1}{48}\,\bigg(\frac{a}{\delta}\bigg)^4\,\Bigg] \,e^{-i\omega\,t}.$$ Тогда средний квадрат тока: $$\overline{J^2\,}=\frac{1}{2} {\cal R}e\;(JJ^\ast)\,= \frac{\pi^2 a^4\,\sigma^2\,A_1^2}{2} \bigg(1+\frac{1}{48}\; \frac{a^4}{\delta^4}\bigg)$$ и сопротивление: $$R= \frac{\ell}{\pi a^2\,\sigma} \bigg(1+\frac{1}{48}\; \frac{a^4}{\delta^4}\bigg)=\frac{\ell}{\pi a^2\,\sigma} \Bigg(1+\frac{1}{12}\; \bigg(\,\frac{\pi\,\sigma\,\omega\,a^2}{c}\bigg)^2\,\Bigg) \text{при} \,\delta \gg a.$$ При больших частотах ($\,\delta \ll a$) можно считать поверхность плоской. Поэтому (см.~6.76) $$E_z=A_1\,e^{\textstyle-\frac{a-r}{\delta}}\, e^{\textstyle-i(\omega\,t-\frac{a-r}{\delta})}.$$ Поступая далее так же, как и в случае малых частот, находим $$\overline{W\,}=\frac{\pi al\,\sigma\,\delta A_1^2}{2}\,,\qquad \overline{J^2\,}=\pi^2 a^2\,\sigma^2\,\delta^2\,A_1^2\,.$$ И значит, $$R=\frac{\overline{W\,}}{\overline{J^2\,}}= \frac{\ell}{2\pi a\,\sigma\,\delta } \qquad\mbox{при} \qquad \delta \ll a\,.$$