Направленное движение электрических зарядов $q$ — ток $J$. $$ J=\frac{dq}{dt}.$$ Вектор плотности тока $\vec{j}=\rho \vec{v}=en\vec{v}$.

Закон Ома в дифференциальной форме: $$\vec{j}=\sigma\vec{E}.$$

Для линейных проводников закон Ома $J=\frac UR$, где $$R=\frac{\ell}{\sigma S}.$$

Закон сохранения заряда в интегральной форме $$\frac{dq}{dt}=-\oint j_{1n}dS,$$ а в дифференциальной форме: $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\text{div} \vec{j}.$$

Для стационарных токов $\text{div} \vec{j}=0$, откуда следует граничное условие $\left . j_{1n}\right|_{\Gamma}=j_{2n}|_{\Gamma}$.

Из потенциальности поля $\vec{E}$ следует $$\left . E_{1\tau}\right|_{\Gamma}=\left .E_{2\tau}\right|_{\Gamma}$$ или $$\left . \frac{j_{1\tau}}{\sigma_1}\right|_{\Gamma}=\left . \frac{j_{2\tau}}{\sigma_2}\right|_{\Gamma}.$$

Потенциал $\varphi$ удовлетворяет уравнению Пуассона $$ \Delta\varphi=-4\pi \rho, \,\,\,\mbox{где}\,\,\, \vec{E}=-\nabla \varphi, \,\,\, E_{1\tau}|_{\Gamma}=E_{2\tau}|_{\Gamma},\,\,\,\sigma_1 E_{1n}|_{\Gamma}=\sigma_2 E_{2n}|_{\Gamma} .$$

По найденному $\vec{E}$ и закону Ома $\vec{j}=\sigma\vec{E}$ находим вектор плотности тока $\vec{j}.$

Правила Кирхгофа $ \sum {J_i} = 0,\,\,\,\sum {\cal{E}}_{k} = \sum {J_{i} R_{i} } $.

Закон Джоуля—Ленца: мощность $$P = \int \sigma E^2 dV = \int \frac{j^2}{\sigma }dV.$$ Заметим, что $$ Jd\vec{\ell} = \vec{j}dV =\rho \vec{v}dV=\frac{dq}{dV}\vec{v}dV= \vec{v}dq.$$