1.28. Найти силу и вращательный момент, приложенные к электрическому диполю с моментом $\vec{p}$ в поле точечного заряда $q$.
Сила, действующая на диполь в поле
точечного заряда $q$,
является суммой сил, действующих на заряды диполя со стороны
заряда $q$:
\begin{equation}
(1) \hspace{10pt} \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}=Q(\vec{E_2}-\vec{E_1}),
\end{equation}
где $\vec{E_1}$ — напряженность электрического поля,
создаваемая зарядом $q$ в точке нахождения отрицательного заряда диполя
($-Q$); $\vec{E_2}$ — в точке нахождения положительного заряда диполя. Если расстояние между зарядами диполя
мало по сравнению с расстоянием, на котором находится диполь от
заряда, то поле $\vec{E_2}$ можно разложить в ряд Тейлора и
оставить в нем два первых отличных от нуля члена
$$
\vec{E_2}=\vec{E}\Bigl(\vec{R}+\vec{\ell}\Bigr)\approx$$
$$\vec{E}(\vec{R})+
\ell_x\frac{\partial\vec{E}}{\partial x}\;+\;
\ell_y\frac{\partial\vec{E}}{\partial y}\;+\;
\ell_z\frac{\partial\vec{E}}{\partial z} =$$
$$
\vec{E_1}\;+\;(\vec{\ell}\,{\nabla})\vec{E},
$$
где $(\vec{\ell}\,{\nabla})$ — скалярное произведение вектора
$\vec{\ell}$ и вектора ${\nabla}\!=\!\Big(\vec{i}\frac{\partial}
{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+
\vec{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\Big)$.
Подставим $\vec{E_2}$ в уравнение (1) и учитывая,
что $\vec{P}=Q\vec{\ell}$, $\vec{E}=\frac{Q}{R^3}\vec{R}$, находим
выражение для силы, действующей на диполь
со стороны точечного заряда:
\begin{equation}
(2) \hspace{10pt} \vec{F}=(\vec{P}{\nabla})\frac{q}{R^3}\vec{R}=
q\,\bigg(P_x\frac{\partial}{\partial x}\;+\;
P_y\frac{\partial}{\partial y}\;+\;
P_z\frac{\partial}{\partial z}\bigg)\,\frac{\vec{R}}{R^3}.
\end{equation}
Так как
$$P_x\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\vec{R}}
{R^3}\biggr)=P_x\biggl(\frac{1}{R^3}\frac{\partial\vec{R}}
{\partial x}+\vec{R}\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(
\frac{1}{R^3}\Bigr)\biggr)=
P_x\biggl(\frac{\vec{i}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}x\biggr)\;,$$
то аналогично
$$P_y\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\vec{R}}
{R^3}\biggr)=
P_y\biggl(\frac{\vec{j}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}y\biggr)\;,\;\;
P_z\frac{\partial}{\partial z}\biggl(\frac{\vec{R}}
{R^3}\biggr)=
P_z\biggl(\frac{\vec{k}}{R^3}-\frac{3\vec{R}}{R^5}z\biggr)\;,$$
где $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ — единичные векторы в
направлениях соответственно $X$, $Y$, $Z$. Подставляя вычисленные
соотношения в уравнение (2), получаем
\begin{equation} (3) \hspace{10pt} \vec{F}=q\biggl(\frac{\vec{P}}{R^3}- \frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}\biggr)\;. \end{equation}
Сила, действующая на диполь в поле точечного заряда, равна по абсолютной величине и противоположна по направлению силе, действующей на заряд в поле диполя. Поэтому формулу (3) можно получить и из предыдущей задачи 1.27 по полю диполя: $$ \vec{E}_\text{дип}=-\frac{\vec{P}}{R^3}+ \frac{3(\vec{P}\,\vec{R})\vec{R}}{R^5}. $$
Момент сил, действующий на диполь во внешнем поле $\vec{E}$,
равен $\vec{N}=[\vec{P}\times\vec{E}]$. Подставляя в эту формулу поле
точечного заряда
$\vec{E}=q\frac{\vec R}{R^3}$, получаем
$$ \vec{N}=q\frac{[\vec{P}\times\vec{R}]}{R^3}, $$
где $\vec{R}$ — радиус–вектор, проведенный из точки нахождения точечного заряда $q$ в точку, где находится диполь.
С другой стороны момент можно подсчитать и непосредственно, воспользовавшись формулой: $$ \vec{N}=\sum \limits _{i}[\vec{r}_{i}\times\vec{F_{i}}], $$ где $\vec{r}_{i}$ — радиус векторы приложенных сил рассмотрим относительно некоторой точки на оси соединяющей заряды диполя — $\vec r_1 = \vec b, \vec r_2 = \vec a+\vec b$, тогда: $$ \vec{N}=[\vec{b}\times\vec{F}_{-e}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{F}_{+e}]=\frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{R}+\vec{a})]= $$ $$ \frac{-eq}{R^{3}}[\vec{b}\times\vec{R}]+\frac{eq}{|\vec{R}+\vec{a}|^{3}}[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\approx $$ $$ \frac{eq}{R^{3}}\left(-[\vec{b}\times\vec{R}]+[(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{R}]\right)=\frac{eq}{R^{3}}[\vec{a}\times\vec{R}]=\frac{q}{R^{3}}[\vec{P}\times\vec{R}]. $$