electrodynamics:res1.32

1.32. а) Показать, что дипольный момент $\vec{p}$ электрически нейтральной системы зарядов $\sum\limits_iq_i=0$ не меняется при смещении начала координат.
б) При каком выборе вектора смещения $\vec{d}$ дипольный момент $\vec{P}' = 0$, если $\sum\limits_iq_i\ne 0$?


Пусть в некоторой системе координат радиус-вектор положения \(i\)-го заряда $q_i$ есть $\vec{R}_i$, тогда дипольный момент системы зарядов в этой системе координат $\vec{P}=\sum\limits_i q_i\vec{R}_i$. Сдвинем начало координат на некоторый вектор $\vec{d}$, тогда положение каждого заряда в новой системе будет $\vec{R}_i'=\vec{R_i}-\vec{d}$ и $$ \vec{P}\,'=\sum_iq_i\vec{R}_i'= \sum_iq_i(\vec{R_i}-\vec{d})= \sum_iq_i\vec{R_i}-\vec{d}\sum_iq_i=\vec{P}, $$ так как $\sum\limits_iq_i=0$.

$\vec{P}\,'=0$, если

$$ \vec{d}= \frac{\sum\limits_iq_i\vec{R_i}} {\sum\limits_iq_i}. $$