6.10. Найти индуктивность соленоида с числом витков $N\gg 1$, намотанного тонким слоем на шарообразный сердечник радиуса $a$ с магнитной проницаемостью $\mu$ так, что витки лежат вдоль линий $\theta=\text{const}$, а плотность намотки меняется по закону \[ n\left( \theta \right) = \frac{N}{{2a}}\sin \theta,\,\, \left( {\int\limits_0^\pi {n\left( \theta \right)ad\theta = N} } \right). \]

Поле $\,\vec{H}_2$ вне соленоида — поле магнитного диполя, магнитный момент $\,\vec{m}$ которого создается соленоидом (поверхностные токи) и индуцированным моментом шара $$ \vec{H}_2=\frac{3\vec{r}(\vec{m}\,\vec{r})}{r^5}- \frac{\vec{m}}{r^3}\,.$$ Направление вектора $\,\vec{m}$ перпендикулярно плоскостям витков. Поле $\vec{H}_1$ внутри шара однородно, также как для намагниченного шара (см. задачу 5.9). Тангенциальные составляющие $\,H_{\tau}$ на поверхности шара терпят разрыв из–за поверхностных токов, нормальные составляющие вектора магнитной индукции непрерывны, поэтому $$\frac{m}{a^3}\sin\theta+ H_1\sin \theta=\frac{4\pi}{c} \frac{JN}{2a}\sin\theta\,,$$ $$\mu H_1\cos\theta=\frac{3m\cos\theta}{a^3}- \frac{m\cos\theta}{a^3}=\frac{2m\cos\theta}{a^3}\,.$$ Решая систему уравнений, находим $$H_1=\frac{4\pi NJ}{c\,(\mu+2)a}\,.$$ Поток вектора магнитной индукции через $\,dn$ витков, расположенных под углом $\,\theta$, равен $$d\Phi=\mu H\pi a^2\sin^2 \theta\, n(\theta)\,a\,d\theta\,.$$ Полный поток через все $\,N$ витков $$\Phi=\frac{2\pi^2N^2Ja}{c}\;\frac{\mu}{\mu+2} \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta= \frac{8\pi^2N^2Ja\mu}{3c\,(\mu+2)}\,.$$ Значит, $$L=\frac{8\pi^2}{3}\;\frac{\mu}{\mu+2}\;N^2a.$$ Вычисление индуктивности через энергию системы в данном случае заметно сложнее из-за трудности вычисления энергии вне соленоида: $$\frac{LJ^2}{2c^2}=W_1+W_2,$$ где $W_1=\mu H_1^2\,\frac{4}{3}\pi a^3$ есть энергия внутри соленоида с учетом однородности поля $\vec{H}_1$, а энергия вне соленоида $$W_2=\frac{1}{8\pi}\int H_2^2\,dv,$$ где $$ \vec{H}_2=\frac{3\vec{r}(\vec{m}\,\vec{r})}{r^5}- \frac{\vec{m}}{r^3}\,,\qquad m=m_z=\frac{2\pi JNa^2}{c(\mu+2)}.$$