6.37. Горизонтальный стержень веса $P$ и длины $\ell$ скользит без трения по двум вертикальным стержням, соединенным внизу конденсатором емкости $C$. Имеется однородное магнитное поле $\vec{B}$ перпендикулярное плоскости падения стержня. Найти ускорение стержня, пренебрегая электрическим сопротивлением образованной цепи (все стержни — проводящие).
Направление вектора $\,\vec{B}$ выбрано от читателя. Магнитный
поток сквозь замкнутый контур 01230 будет
меняться из-за изменения площади контура. Возникающая в контуре
эдс индукции равна
$${\cal E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\Phi}{\partial t}=
-\frac{1}{c}\ell B\dot{y},$$
поскольку
$$\Phi=B\ell y\,,$$
где $\,y$ — координата горизонтального
стержня. Начало координат выбрано
на уровне
конденсатора. По контуру течет ток, как показано на рисунке,
так как в контуре действует эдс. При вычислении эдс
мы пренебрегли магнитным полем, создаваемым этим током. По
второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений по замкнутому
контуру равна сумме эдс, действующих в контуре. Поэтому
падение напряжения на емкости $\;U_c={\cal E}$. С другой стороны,
$\;U_c=Q/C$, где $\,Q$ — заряд конденсатора, а $\,C$ —
емкость конденсатора. Значит,
\begin{equation}
(1) \hspace{10pt} Q=-\frac{\ell B\dot{y}C}{c}\,.
\end{equation}
Составим уравнение движения стержня (второй закон Ньютона). На стержень действует сила тяжести $P=\,m\vec{g}$, направленная вниз (противоположно положительному $\,y$), и сила Лоренца, направленная вверх. Поэтому $$m\ddot{y}=-mg+\frac{JB\ell}{c}\,,$$ где $\,g$ — ускорение свободного падения; $\,J$ – ток в контуре; $\,\ddot{y}$ — ускорение стержня. Дифференцируя уравнение (1) и учитывая, что $J=\displaystyle\frac{dQ}{dt}$, окончательно получаем $$\ddot{y}=-\frac{g}{1+\displaystyle\frac{\ell^2B^2C}{mc^2}}\,.$$