\subsection{Задача 1.}

\begin{frame}

\begin{block}{Задача 1.} Найти среднюю кинетическую энергию частицы массой m в одномерной прямоугольной потенциальной с бесконечно высокими стенками $(0<x<a),$ если частица находится в состояниях, описываемых волновыми функциями:

а) $\Psi (x) = A\sin ^2 \left(\pi \frac xa \right)$;

б) $\Psi (x) = A x\left(x-a \right)$.

%	\begin{center}
%			\includegraphics[scale=0.5]{372-2}
%	\end{center}

\end{block} \pause

$$\left\langle T\right\rangle =\left\langle \Psi|\hat{T}|\Psi\right\rangle \pause=\left\langle \Psi|\frac{\hat{p}^{2}}{2m}|\Psi\right\rangle \pause=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\hat{p}^{2}}{2m}\Psi dx\pause=$$ $$ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi dx\pause= -\frac{A^{2}\hbar^{2}}{2m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}x\left(x-a\right)dx=$$ \end{frame}

\begin{frame} $$ -\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)dx\pause= -\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{ax^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{a}\pause=\frac{A^{2}\hbar^{2}a^{3}}{6m}.$$ \pause $$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx\pause=A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx\pause=$$

$$A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx\pause=A^{2}\intop_{0}^{a}\left(x^{4}-2ax^{3}+a^{2}x^{2}\right)dx\pause=$$

$$A^{2}\left.\left(\frac{x^{5}}{5}-\frac{ax^{4}}{2}+\frac{a^{2}x^{3}}{3}\right)\right|_{0}^{a}\pause=\frac{A^{2}a^{5}}{30}.$$

\end{frame}

\subsection{Задача 2}

\begin{frame}

Следовательно, $$A=\sqrt{\frac{30}{a^{5}}} \text{ и } \left\langle T\right\rangle =\frac{5\hbar^{2}}{a^{2}m}.$$ \pause \begin{block}{Задача 2}

В одномерном потенциальном поле $U(x),$ таком, что $U(x)=0$ при
$x\to\infty,$ находится частица в стационарном состоянии, описываемом
волновой функцией 

$$
\Psi(x) =
\left\{ \begin{array}{cc}
Axe^{-ax}, & x\geq0\\
0, & x<0
\end{array}\right..$$

Найти вид функции $U(x)$ и константу $A.$

\end{block} \pause Определим вид функции $U(x),$ подставив волновую функцию в уравнение Шрёдингера\pause:

$$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi.$$

\end{frame}

\begin{frame}

Продифференцируем:

$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}xe^{-ax}\pause=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-ax}-axe^{-ax}\right)\pause=-2ae^{-ax}+a^{2}xe^{-ax},$$\pause тогда $$\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(2-ax\right)+U(x)x=Ex$$\pause так, что $$U(x)=\left.E+\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(a-\frac{2}{x}\right)\right|_{x\to\infty}=0,$$ \pause следовательно, $$E=-\frac{\hbar^{2}a^{2}}{2m}, \pause \ \ U(x)=-\frac{\hbar^{2}a}{mx}.$$

\end{frame}

\begin{frame}

Константу $A$ определим из нормировки\pause:

$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx\pause=A^{2}\intop_{0}^{\infty}x^{2}e^{-2ax}dx\pause=$$ $$ \frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t}dt\pause=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}\pause=$$ $$ \left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}\pause=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\frac{1}{\alpha}\right|_{\alpha=1}\pause=\frac{2A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}.$$ \pause следовательно, $$A=2\sqrt{a^{3}}.$$

\end{frame}

\section{Ток вероятности.}

\begin{frame} Плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке определяется выражением: $$\rho=|\Psi|^{2}=\Psi\Psi^{*},$$ \pause тогда плотность вероятности должна удовлетворять уравнению непрерывности: $$\frac{\ensuremath{\partial}\rho}{\partial t}+\text{div }\vec{j}=0.$$ \pause Введём поток вероятности \pause (или ток вероятности) \pause $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right).$$ \pause Для плоской волны \pause (т.е. для частицы, движущейся с определённым импульсом): $$\Psi=Ae^{ikx}, \ \ \ \pause \rho=|\Psi|^{2}=|A|^{2}=1,$$ \pause $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right)=\frac{\hbar\vec{k}}{m}.$$ \end{frame}

\subsection{Задача 3}

\begin{frame}

\begin{block}{Задача 3}

Найти коэффициент отражения частицы с энергией $E$ на барьере
высотой $U_{0}<E.$
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{03}
\end{center}

\end{block} \pause Запишем уравнение Шрёдингера: $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi,$$\pause потенциал имеет вид: $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc} U_{0}, & x\geq0\\ 0, & x<0 \end{array}\right..$$

\end{frame}

\begin{frame} Волновая функция имеет вид: $$\Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cc} Be^{ik_{2}x}, & x\geq0\\ e^{ikx}+Ae^{-ikx}, & x<0 \end{array}\right.,$$ \pause где $k=\sqrt{\frac{2E}{\hbar^{2}}},$ $k_{2}=\sqrt{\frac{2\left(E-U_{0}\right)}{\hbar^{2}}}.$ \pause

Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на границах барьера, т.е. при $x=0:$ $$\left\{ \begin{array}{cc} 1+A=B,\\ k\left(1-A\right)=k_{2}B, \end{array}\right.$$\pause Решая систему двух линейных алгебраических уравнений: \pause $$A=\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k},\,B=\frac{2k}{k_{2}+k},$$ \pause (как формулы Френеля для нормального падения в оптике).

\end{frame}

\subsection{Задача 4}

\begin{frame}

Коэффициент (надбарьерного) отражения равен отношению тока вероятности отражённой волны к току вероятности падающей\pause:

$$R=|A|^{2}\pause=\left(\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k}\right)^{2}\pause=\left(\frac{1-\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}{1+\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}\right)^{2}.$$ \pause \begin{block}{Задача 4} Найти коэффициент туннелирования частицы с энергией $E$ сквозь барьер высотой $U_{0}>E$ и шириной $a.$

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{04}

\end{center} \end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

Запишем уравнение Шрёдингера: \pause $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi$$ \pause потенциал имеет вид: \pause $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc} U_{0}, & 0\leq x\leq a\\ 0, & x<0\text{ и }x>a \end{array}\right..$$ \pause Таким образом, волновая функция имеет вид: $$\Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cc} e^{ikx}+Ae^{-ikx} & x<0\\ Be^{k_{2}x}+Ce^{-k_{2}x} & 0\leq x\leq a\\ De^{ikx} & x>a \end{array}\right.$$ \pause где $k=\sqrt{\frac{2E}{\hbar^{2}}},$ $k_{2}=\sqrt{\frac{2\left(U_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}}.$

\end{frame}

\begin{frame}

Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на границах барьера, т.е. при $x=0$ и $x=a:$\pause

$1+A=B+C;$\pause

$ik\left(1-A\right)=k_{2}\left(B-C\right);$\pause

$Be^{k_{2}a}+Ce^{-k_{2}a}=De^{ika};$\pause

$k_{2}\left(Be^{k_{2}a}-Ce^{-k_{2}a}\right)=ikDe^{ika}.$\pause

Решая систему, получим:

$$A=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)+i2kk_{2}\left(e^{2k_{2}a}+1\right)}$$\pause так как $R=|A|^{2},$ то \pause $$R=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)+4k^{2}k_{2}^{2}\text{ch}^{2}\left(k_{2}a\right)}.$$

\end{frame}

\begin{frame} Коэффициент прохождения равен: $T=1-R.$ \pause

Ответ напоминает соотношение, полученное при изучении прохождения волны через зазор при полном внутреннем отражении. \pause

Туннельный эффект используется в: \pause

1) Туннелирование носителей зарядов через потенциальный барьер p-n перехода, получившее практическое применение в туннельном диоде, где наблюдается отрицательное дифференциальное сопротивление. \pause

2) Туннельный микроскоп. Основан на, том, что если между поверхностью проводящего материала и атомно-острой проводящей иглой (зондом) подать напряжение и подвести на очень малое расстояние, то между ними будет течь туннельный ток. Если поддерживать ток постоянным при сканировании зондом вдоль поверхности, можно получить картину поверхности с атомным разрешением.

\end{frame}

\begin{frame} 3) $\alpha$–распад — туннелирование через потенциальный барьер. Теорию альфа–распада, основанную на туннельном эффекте, разработал в 1928 Георгий Гамов. \pause

4) авто– и термоэмиссия \pause

5) Туннелирование носителей зарядов через тонкую оксидную плёнку, имеющую диэлектрические свойства, покрывающую ряд металлов (в частности, алюминия) и обеспечивающее проводимость точек механического соединения проводников. и т.д.

\end{frame}

\subsection{Задача 5.}

\begin{frame}

\begin{block}{Задача 5.} Пользуясь формулой для нахождения коэффициента туннелирования $T=exp\left(-\frac{2}{\hbar}\intop_{a}^{b}\sqrt{2m\left(U(x)-E\right)}dx\right),$ где $a,b$ \textemdash{} классические точки поворота для потенциального барьера, найти вероятность прохождения электрона с энергией $E$ сквозь потенциальный треугольной формы высотой $U_{0}$ и шириной $d$. \begin{center}

\includegraphics[scale=0.5]{05}

\end{center} \end{block} \pause Потенциальная энергия имеет вид: $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc} U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right), & 0\leq x\leq d\\ 0, & x<0\text{ и }x>d \end{array}\right..$$

\end{frame}

\begin{frame} Определим точки поворота\pause: $a=0,$ \pause а вторая точка поворота определяется из равенства: $$U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)=E,$$\pause следовательно, $$b=\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d.$$ \pause Итак: $$T=exp\left(-\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar}\intop_{0}^{\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d}\sqrt{U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)-E}dx\right)=$$ \pause $$exp\left(\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left.\left(U_{0}-U_{0}\frac{x}{d}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0}^{\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d}\right)=$$ \end{frame}

\begin{frame}

$$exp\left(\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left(\left(U_{0}-U_{0}\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)-E\right)^{\frac{3}{2}}-\left(U_{0}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right) \Rightarrow$$ \pause $$T= exp\left(-\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left(U_{0}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right).$$