Условие: К цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности, подключили источник переменной ЭДС, как показано на рисунке. Найти ток, текущий в цепи.

Условие: Подберите величину индуктивности катушки так, чтобы амплитуда напряжения на выходе изображенного на рисунке фильтра при частоте 100 Гц была в 10 раз меньше амплитуды на входе. Схема содержит катушку индуктивности \(L\) и два конденсатора ёмкостью 10 мкФ каждый.

Решение:

Предполагаем, что фильтр представляет собой П-образное звено: входной конденсатор \(C_1 = 10\) мкФ включён параллельно входу, затем последовательно катушка \(L\), и выходной конденсатор \(C_2 = 10\) мкФ включён параллельно выходу (нагрузка отсутствует, режим холостого хода). Выходное напряжение снимается с \(C_2\).

Для такой цепи в комплексной форме передаточная функция по напряжению при холостом ходе имеет вид: \[ \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}} = \frac{1}{1 - \omega^2 L C_2}, \] где \(\omega = 2\pi f\) — круговая частота. Модуль коэффициента передачи: \[ K = \left| \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}} \right| = \frac{1}{|1 - \omega^2 L C_2|}. \] По условию \(K = 0.1\) (в 10 раз меньше), следовательно, \[ |1 - \omega^2 L C_2| = 10. \] Так как \(\omega^2 L C_2 > 0\), выражение \(1 - \omega^2 L C_2\) может быть отрицательным. Чтобы модуль равнялся 10, необходимо \[ 1 - \omega^2 L C_2 = -10 \quad \Rightarrow \quad \omega^2 L C_2 = 11. \] Отсюда \[ L = \frac{11}{\omega^2 C_2}. \] Подставляем значения: \[ f = 100\ \text{Гц}, \quad \omega = 2\pi f = 200\pi\ \text{рад/с}, \quad C_2 = 10\ \text{мкФ} = 10^{-5}\ \text{Ф}. \] \[ \omega^2 = (200\pi)^2 = 40000\pi^2 \approx 394784\ \text{рад}^2/\text{с}^2, \] \[ L = \frac{11}{394784 \cdot 10^{-5}} = \frac{11}{3.94784} \approx 2.786\ \text{Гн}. \] Точное выражение: \[ L = \frac{11}{4\pi^2 \cdot 100^2 \cdot 10^{-5}} = \frac{11}{4\pi^2 \cdot 10^{-1}} = \frac{110}{4\pi^2} = \frac{55}{2\pi^2}\ \text{Гн}. \]

Ответ: Индуктивность катушки должна быть равна \(\displaystyle L = \frac{55}{2\pi^2}\) Гн \(\approx 2.79\) Гн.