Условие: К цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности, подключили источник переменной ЭДС, как показано на рисунке. Найти ток, текущий в цепи.

Условие: Подберите величину индуктивности катушки так, чтобы амплитуда напряжения на выходе изображенного на рисунке фильтра при частоте 100 Гц была в 10 раз меньше амплитуды на входе. Схема содержит катушку индуктивности \(L\) и два конденсатора ёмкостью 10 мкФ каждый.

Решение:

Предполагаем, что фильтр представляет собой П-образное звено: входной конденсатор \(C_1 = 10\) мкФ включён параллельно входу, затем последовательно катушка \(L\), и выходной конденсатор \(C_2 = 10\) мкФ включён параллельно выходу (нагрузка отсутствует, режим холостого хода). Выходное напряжение снимается с \(C_2\).

Для такой цепи в комплексной форме передаточная функция по напряжению при холостом ходе имеет вид: \[ \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}} = \frac{1}{1 - \omega^2 L C_2}, \] где \(\omega = 2\pi f\) — круговая частота. Модуль коэффициента передачи: \[ K = \left| \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}} \right| = \frac{1}{|1 - \omega^2 L C_2|}. \] По условию \(K = 0.1\) (в 10 раз меньше), следовательно, \[ |1 - \omega^2 L C_2| = 10. \] Так как \(\omega^2 L C_2 > 0\), выражение \(1 - \omega^2 L C_2\) может быть отрицательным. Чтобы модуль равнялся 10, необходимо \[ 1 - \omega^2 L C_2 = -10 \quad \Rightarrow \quad \omega^2 L C_2 = 11. \] Отсюда \[ L = \frac{11}{\omega^2 C_2}. \] Подставляем значения: \[ f = 100\ \text{Гц}, \quad \omega = 2\pi f = 200\pi\ \text{рад/с}, \quad C_2 = 10\ \text{мкФ} = 10^{-5}\ \text{Ф}. \] \[ \omega^2 = (200\pi)^2 = 40000\pi^2 \approx 394784\ \text{рад}^2/\text{с}^2, \] \[ L = \frac{11}{394784 \cdot 10^{-5}} = \frac{11}{3.94784} \approx 2.786\ \text{Гн}. \] Точное выражение: \[ L = \frac{11}{4\pi^2 \cdot 100^2 \cdot 10^{-5}} = \frac{11}{4\pi^2 \cdot 10^{-1}} = \frac{110}{4\pi^2} = \frac{55}{2\pi^2}\ \text{Гн}. \]

Ответ: Индуктивность катушки должна быть равна \(\displaystyle L = \frac{55}{2\pi^2}\) Гн \(\approx 2.79\) Гн.

Рассмотрение последовательного колебательного контура. Знакомство с лоренцевским контуром.

### Последовательный колебательный контур

Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности \(L\), конденсатора \(C\) и резистора \(R\) (активного сопротивления потерь), соединённых последовательно с источником переменной ЭДС (рис. 1). Уравнение цепи во временной области:

\[ L \frac{di}{dt} + iR + \frac{1}{C} \int i \, dt = e(t). \]

В комплексной форме для гармонического сигнала \(e(t) = E_m e^{j\omega t}\):

\[ \dot{I} = \frac{\dot{E}}{Z}, \quad Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right). \]

Модуль тока:

\[ I(\omega) = \frac{E_m}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}}. \]

Резонанс наступает при \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), когда реактивное сопротивление равно нулю. При резонансе ток максимален: \(I_{\text{max}} = E_m / R\).

### Лоренцевский контур

Лоренцевским называют колебательный контур, у которого частотная зависимость амплитуды тока (или напряжения на элементе) вблизи резонанса описывается лоренцевой кривой (формулой Лоренца). Такая форма возникает, например, для квадрата амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) тока:

\[ I^2(\omega) = \frac{I_{\text{max}}^2}{1 + \left(2Q \frac{\omega - \omega_0}{\omega_0}\right)^2}, \]

где \(Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R}\) — добротность контура. Эта зависимость является лоренцевой (или лоренцианом) и симметрична относительно \(\omega_0\). Ширина полосы пропускания на уровне \(1/\sqrt{2}\) от максимума равна \(\Delta \omega = \omega_0 / Q\).

Лоренцева форма характерна для многих резонансных систем и описывает распределение энергии вблизи резонансной частоты. В случае последовательного контура именно ток (или напряжение на резисторе) имеет такую форму. Напряжения на реактивных элементах имеют более сложный вид, но вблизи резонанса также приближённо лоренцевы.

### Основные свойства последовательного контура

- Резонансная частота \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\). - Характеристическое сопротивление \(\rho = \sqrt{L/C}\). - Добротность \(Q = \rho / R = \omega_0 L / R\). - Полоса пропускания по уровню 0,707 от максимума: \(\Delta f = f_0 / Q\).

Лоренцевский контур широко используется в радиотехнике для выделения сигналов, в спектроскопии, а также как модель для описания резонансных явлений в физике.

Таким образом, знакомство с лоренцевским контуром подразумевает понимание резонансных кривых, добротности и связи с лоренцевой формой линии.