Перевод из CGS в СИ:

<latex>B(\text{индукция}) = \frac{c\mu_0}{4\pi} H (\text{напряженность поля})</latex>

Обратное преобразование:

<latex>H (\text{напряженность поля}) = \frac{4\pi}{\mu_0 c} B (\text{индукция})</latex>

<latex>\oint (\vec{B} \cdot d\vec{s}) = \mu_0 \int (\vec{j} \cdot d\vec{s})</latex> - Теорема Стокса

<latex>d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}</latex> - Закон Био и Савара

<latex>d\vec{F}_{12} = I_2 [d\vec{l}_2 \times \vec{B}_1]</latex> - Закон Ампера

Перевод из CGS в СИ:

$B(\text{индукция}) = \frac{c\mu_0}{4\pi} H (\text{напряженность поля})$

Обратное преобразование:

$H (\text{напряженность поля}) = \frac{4\pi}{\mu_0 c} B (\text{индукция})$

$\oint (\vec{B} \cdot d\vec{s}) = \mu_0 \int (\vec{j} \cdot d\vec{s})$ - Теорема Стокса

$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$ - Закон Био и Савара

$d\vec{F}_{12} = I_2 [d\vec{l}_2 \times \vec{B}_1]$ - Закон Ампера

1. Найти напряженность магнитного поля на расстоянии R от бесконечного провода, по которому течет ток J.

2. Вычислить напряженность магнитного поля кругового тока на его оси. Радиус витка тока a, расстояние от точки наблюдения до провода r.

3. Найти магнитную индукцию B поля, создаваемого проводом длины l, в точке, из которой его края видны под углами $\varphi_1$ и $\varphi_2$. По проводу протекает ток J расстояние от провода до точки равно $r_0$.

4. Найти напряженность магнитного поля в точке на оси соленоида радиуса a с линейной плотностью витков n, из которой его края видны под углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Через обмотку соленоида протекает ток J.

5. На рисунке показана схема симметричного разветвления токов. Все проводники прямолинейны, бесконечны и лежат в одной плоскости. Определить напряженность магнитного поля на линии, перпендикулярной к плоскости токов и проходящей через точку А, если сила тока в каждой ветви равна J.

6. Длинный провод с током $J = 50$ А изогнут под углом $\alpha = 2\pi/3$. Определить напряженность магнитного поля в точке A. Расстояние $d = 5$ см.

7. Найти магнитное поле тороидальной катушки. Радиус катушки R, ток через обмотку равен J, количество витков обмотки равно N.

8. Электрон, имея скорость $\nu$, влетел в однородное магнитное поле с напряженностью поля B под углом $\alpha = 30^\circ$ к направлению вектора напряженности. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

9. По двум параллельным прямым проводам длиной $l = 2,5$ м каждый, находящимся на расстоянии $d = 20$ см друг от друга, текут одинаковые токи $J = 1$ кА. Вычислить силу F взаимодействия токов.

10. Плоский квадратный контур со стороной длиной a, по которому течет ток J, свободно установился в однородном магнитном поле напряженностью B. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) $\varphi_1 = 90^\circ$, 2) $\varphi_2 = 3^\circ$. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Магнитное поле элемента тока $Id\vec{l}$ дается выражением:

$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I[d\vec{l} \times \vec{r}]}{r^3}$

где $d\vec{l}_\perp$ - составляющая вектора $d\vec{l}$ перпендикулярная к $\vec{r}$.

Магнитные силовые линии будут окружностями, центры которых расположены на оси провода.

В скалярной форме: $dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} dl_\perp$

где $d\alpha$ - угол, под которым вектор $d\vec{l}$ виден из точки наблюдения.

$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \cos\alpha d\alpha$

Интегрирование от $\alpha = -\pi/2$ до $\alpha = +\pi/2$ дает:

$B = \frac{\mu_0 I}{\pi R}$

Элемент тока $Id\vec{l}$ возбуждает магнитное поле $d\vec{B}$, перпендикулярное к радиусу-вектору $\vec{r}$.

Осевая составляющая: $dB_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \sin\alpha dl$

Интегрирование по контуру: $B_z = B = \frac{\mu_0 I a}{2r^2} \sin\alpha = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + z^2)^{3/2}}$

Решение в системе СИ.

Закон Био-Савара-Лапласа: $dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{\sin\alpha}{r^2} dl \quad (1)$

Выразим $dl$ через $d\alpha$: $dl = \frac{r d\alpha}{\sin\alpha}$

Подставим в (1): $dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} d\alpha$

Но $r = \frac{r_0}{\sin\alpha}$, тогда: $dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi r_0} \sin\alpha d\alpha \quad (2)$

Интегрируем от $\alpha_1$ до $\alpha_2$: $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r_0} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \sin\alpha d\alpha = \frac{\mu_0 I}{4\pi r_0} (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2) \quad (3)$

При симметричном расположении: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r_0} \cos\alpha_1$

Поле от элемента соленоида: $dB_z = \frac{\mu_0 a^2 I n}{2(a^2 + z^2)^{3/2}} dz$

Переход к интегрированию по углу: $z = a \cdot \cot\alpha, \quad dz = -\frac{a d\alpha}{\sin^2\alpha}$

$B_z = -\frac{\mu_0 I n}{2} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \sin\alpha d\alpha = \frac{\mu_0 I n}{2} (\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1)$

Для полубесконечного соленоида: $B_z = \frac{\mu_0 I n}{2}$

Для бесконечного соленоида: $B_z = \mu_0 I n$

Ответ: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} (1 + \cos\alpha)$

Решение в системе СИ.

$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r_0} (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$

При $\alpha_1 \to 0$, $\alpha_2 = 2\pi/3$, $r_0 = d \sqrt{3}/2$:

$B = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I}{4\pi d}$

Циркуляция магнитного поля: $2\pi R B = \mu_0 N I$

$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi R}$

Решение в системе СИ.

Сила Лоренца: $F = |e| v B \sin\alpha$

Радиус винтовой линии: $R = \frac{m v_\perp}{|e| B} = \frac{m v \sin\alpha}{|e| B}$

Шаг винтовой линии: $h = v_\parallel T = \frac{2\pi m v \cos\alpha}{|e| B}$

Решение в системе СИ.

Магнитная индукция: $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$

Сила Ампера: $dF_{12} = I_2 B_1 dl_2$

$F_{12} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} \int_0^{l} dl_2 = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi d} l$

Решение в системе СИ.

Момент сил: $\vec{M} = [\vec{p}_m \times \vec{B}] \quad (1)$

Работа: $dA = M d\varphi \quad (2)$

$dA = I a^2 B \sin\varphi d\varphi$

$A = I a^2 B \int_0^{\varphi} \sin\varphi d\varphi \quad (3)$

Для $\varphi = 90^\circ$: $A = I a^2 B$

Для $\varphi = 3^\circ$: $A = \frac{I a^2 B \varphi^2}{2}$