Условие: Маятник Максвелла представляет собой массивный диск радиусом \(R\) и массой \(m\), туго насаженный на ось радиусом \(r\). Ось подвешена на двух предварительно намотанных на неё нитях. При отпускании маятник совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции оси, определить: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити.

Дано:

• Масса диска: \(m\)
• Радиус диска: \(R\)
• Радиус оси: \(r\)
• Ускорение свободного падения: \(g\)

Найти:

• Ускорение \(a\) поступательного движения
• Силу натяжения одной нити \(T\)

—

Маятник Максвелла совершает плоское движение: центр масс опускается поступательно, а диск вращается вокруг своей оси. Нити намотаны на ось радиусом \(r\), поэтому при опускании они разматываются, и линейное ускорение центра масс \(a\) связано с угловым ускорением диска \(\varepsilon\) соотношением: $$a = \varepsilon r.$$

На маятник действуют:

• сила тяжести \(mg\), приложенная к центру масс (вниз);
• силы натяжения двух нитей \(T\) (каждая), приложенные к оси в точках касания нитей и направленные вертикально вверх.

Суммарная сила натяжения \(2T\).

Проекция на вертикальную ось (вниз): $$ma = mg - 2T. \tag{1}$$

Момент инерции диска относительно его оси (ось тонкая, её моментом пренебрегаем): $$I = \frac{1}{2} m R^2.$$ Момент сил натяжения относительно центра масс: каждая нить создаёт момент \(T \cdot r\), оба момента направлены одинаково (при опускании диск вращается так, что нити разматываются). Суммарный момент: $$M = 2T r.$$ Уравнение вращения: $$I \varepsilon = 2T r. \tag{2}$$

Подставляем \(\varepsilon = a/r\) в (2): $$\frac{1}{2} m R^2 \cdot \frac{a}{r} = 2T r \quad \Rightarrow \quad T = \frac{m R^2 a}{4 r^2}. \tag{3}$$

Подставим (3) в (1): $$ma = mg - 2 \cdot \frac{m R^2 a}{4 r^2} = mg - \frac{m R^2 a}{2 r^2}.$$ Сократим на \(m\) (при \(m \neq 0\)): $$a = g - \frac{R^2 a}{2 r^2} \quad \Rightarrow \quad a \left(1 + \frac{R^2}{2 r^2}\right) = g.$$ Отсюда: $$a = \frac{g}{1 + \frac{R^2}{2 r^2}} = \frac{2 r^2 g}{R^2 + 2 r^2}. \tag{4}$$

Из (1) выразим \(T\) через \(a\): $$2T = m(g - a) \quad \Rightarrow \quad T = \frac{m(g - a)}{2}.$$ Подставим (4): $$g - a = g - \frac{2 r^2 g}{R^2 + 2 r^2} = g \left(1 - \frac{2 r^2}{R^2 + 2 r^2}\right) = \frac{g R^2}{R^2 + 2 r^2}.$$ Тогда: $$T = \frac{m}{2} \cdot \frac{g R^2}{R^2 + 2 r^2} = \frac{m g R^2}{2 (R^2 + 2 r^2)}. \tag{5}$$

—

1. Ускорение поступательного движения маятника:

 $$a = \frac{2 r^2 g}{R^2 + 2 r^2}.$$

2. Сила натяжения каждой нити:

 $$T = \frac{m g R^2}{2 (R^2 + 2 r^2)}.$$