Условие: Тело массой \(m_1 = 0{,}25\) кг, соединённое невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой \(m_2 = 0{,}2\) кг, скользит по горизонтальной поверхности стола. Масса блока \(m = 0{,}15\) кг. Коэффициент трения \(\mu\) тела о поверхность равен \(0{,}2\). Пренебрегая трением в подшипниках, определить: 1) ускорение \(a\), с которым будут двигаться тела; 2) силы натяжения \(T_1\) и \(T_2\) нити по обе стороны блока.

Дано:

• \(m_1 = 0{,}25\ \text{кг}\)
• \(m_2 = 0{,}2\ \text{кг}\)
• \(m = 0{,}15\ \text{кг}\)
• \(\mu = 0{,}2\)
• Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\ \text{м/с}^2\)

Найти:

• Ускорение \(a\)
• Силы натяжения \(T_1\) и \(T_2\)

—

Система состоит из двух тел и блока. Нить невесома и нерастяжима, поэтому ускорения тел одинаковы по модулю. Блок — полый тонкостенный цилиндр, его момент инерции \(I = m R^2\), где \(R\) — радиус блока. Нить не проскальзывает по блоку, поэтому угловое ускорение блока \(\varepsilon = a / R\).

* На тело \(m_1\) (на столе) действуют:

• сила тяжести \(m_1 g\) (вниз),
• сила нормальной реакции стола \(N\) (вверх),
• сила трения скольжения \(F_{\text{тр}} = \mu N\) (против движения),
• сила натяжения нити \(T_1\) (вправо, в сторону движения).

Так как движение горизонтальное, \(N = m_1 g\), следовательно \(F_{\text{тр}} = \mu m_1 g\).

* На тело \(m_2\) (висящее) действуют:

• сила тяжести \(m_2 g\) (вниз),
• сила натяжения нити \(T_2\) (вверх).

* На блок действуют силы натяжения нити \(T_1\) и \(T_2\), приложенные по касательной к ободу. Моменты этих сил создают вращение.

Для тела \(m_1\) (проекция на горизонтальную ось, направленную в сторону движения): $$m_1 a = T_1 - F_{\text{тр}} = T_1 - \mu m_1 g. \tag{1}$$

Для тела \(m_2\) (проекция на вертикальную ось вниз): $$m_2 a = m_2 g - T_2. \tag{2}$$

Для блока (уравнение вращения): момент инерции \(I = m R^2\), момент сил \(M = (T_2 - T_1) R\) (так как \(T_2\) стремится вращать блок по часовой стрелке, а \(T_1\) — против; примем положительным направление, соответствующее ускорению \(a\), тогда \(T_2 > T_1\)). Уравнение: $$I \varepsilon = (T_2 - T_1) R.$$ Подставляем \(I\) и \(\varepsilon = a/R\): $$m R^2 \cdot \frac{a}{R} = (T_2 - T_1) R \quad \Rightarrow \quad m R a = (T_2 - T_1) R.$$ Сокращаем \(R\) (при \(R \neq 0\)): $$m a = T_2 - T_1. \tag{3}$$

Из (1) выразим \(T_1 = m_1 a + \mu m_1 g\). Из (2) выразим \(T_2 = m_2 g - m_2 a\). Подставим в (3): $$m a = (m_2 g - m_2 a) - (m_1 a + \mu m_1 g) = m_2 g - m_2 a - m_1 a - \mu m_1 g.$$ Перенесём члены с \(a\) в левую часть: $$m a + m_2 a + m_1 a = m_2 g - \mu m_1 g.$$ Отсюда: $$a (m_1 + m_2 + m) = g (m_2 - \mu m_1).$$ Таким образом, $$a = \frac{g (m_2 - \mu m_1)}{m_1 + m_2 + m}. \tag{4}$$

Подставляем числовые значения: $$m_2 - \mu m_1 = 0{,}2 - 0{,}2 \cdot 0{,}25 = 0{,}2 - 0{,}05 = 0{,}15\ \text{кг}.$$ $$m_1 + m_2 + m = 0{,}25 + 0{,}2 + 0{,}15 = 0{,}6\ \text{кг}.$$ $$a = \frac{9{,}8 \cdot 0{,}15}{0{,}6} = \frac{1{,}47}{0{,}6} = 2{,}45\ \text{м/с}^2.$$

Из (1): $$T_1 = m_1 (a + \mu g) = 0{,}25 \cdot (2{,}45 + 0{,}2 \cdot 9{,}8) = 0{,}25 \cdot (2{,}45 + 1{,}96) = 0{,}25 \cdot 4{,}41 = 1{,}1025\ \text{Н} \approx 1{,}10\ \text{Н}.$$ Из (2): $$T_2 = m_2 (g - a) = 0{,}2 \cdot (9{,}8 - 2{,}45) = 0{,}2 \cdot 7{,}35 = 1{,}47\ \text{Н}.$$ Проверка по (3): \(T_2 - T_1 = 1{,}47 - 1{,}1025 = 0{,}3675\ \text{Н}\), \(m a = 0{,}15 \cdot 2{,}45 = 0{,}3675\ \text{Н}\) — совпадает.

—

1. Ускорение тел:

 $$a = 2{,}45\ \text{м/с}^2.$$

2. Силы натяжения нити:

 $$T_1 = 1{,}10\ \text{Н}, \quad T_2 = 1{,}47\ \text{Н}.$$