Клин с углом наклона $45^\circ$ к горизонту находится на гладкой горизонтальной плоскости. С него без трения соскальзывает брусок с массой, равной массе клина. Найти ускорение клина.

На клин действуют сила тяжести, реакция опоры со стороны гладкой горизонтальной плоскости и сила давления со стороны бруска. Проекцию на горизонтальное направление (ось $x$) дает только последняя сила. Она и вызывает ускоренное движение клина.

Запишем уравнение движения для клина: $$m \ddot{x}_1 = N \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} N.$$

При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одновременно одну и ту же скорость и, следовательно, одинаковое ускорение. Поэтому в качестве ускорения клина можно взять ускорение его левой точки с координатой $x_1$.

Запишем уравнения движения для бруска: \[ \begin{cases} m\ddot{x}_2 = -N \sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} N,\\ m\ddot{y}_2 = -mg + N \cos 45^\circ = -mg + \frac{\sqrt{2}}{2} N. \end{cases} \]

Здесь $x_2$, $y_2$ – координаты левой нижней точки бруска. Так как брусок скользит по клину, координаты выбранной точки бруска связаны с координатами выбранной точки клина геометрическим соотношением $$x_2 - x_1 = y_2 \tan 45^\circ = y_2.$$

Дважды дифференцируя это соотношение по времени, складывая уравнение для клина с первым из уравнений для бруска и отдельно складывая уравнения системы для бруска, получим систему уравнений: \[ \begin{cases} \ddot{x}_2 - \ddot{x}_1 = \ddot{y}_2,\\ \ddot{x}_1 + \ddot{x}_2 = 0,\\ \ddot{x}_2 + \ddot{y}_2 = -g. \end{cases} \]

Сложение всех левых частей и всех правых частей уравнений полученной системы дает проекцию ускорения бруска на ось $x$: $$\ddot{x}_2 = -\frac{g}{3}.$$

Тогда из второго уравнения системы найдем ускорение клина: $$\ddot{x}_1 = \frac{g}{3}.$$

Ускорение клина равно $\displaystyle \frac{g}{3}$ и направлено горизонтально.