1. В K-системе отсчета находится неподвижный стержень длины $\ell=1,00$ м, ориентированный под углом $\theta = 45^{\circ}$ к оси Оx. Найти его длину $\ell '$ и соответствующий угол $\theta’$ в K$'$-системе, движущейся относительно K-системы со скоростью $V=c/2$ вдоль оси Ох.

2. Масштаб $A' B'$ собственной длиной $\ell _0$ движется со скоростью $V$ вдоль такого же масштаба $AB$. Часы, находящиеся на концах масштабов в точках $A'$ и $B'$, $A$ и $B$ синхронизованы в своих системах отсчета. В момент совпадения точек $B'$ и $A$ часы $B'$ и $A$ показывали одинаковое время $t = 0$. Какое время покажут каждые часы в момент совпадения точек $A$ и $A'$, $B$ и $B'$.

3. Квадратная (в собственной системе отсчета платформа со стороной $L$ движется вдоль своей диагонали со скоростью $V$. В углах платформы установлены зеркала. Отражаясь от них, по периметру платформы движется фотон. Найти период его движения в Л-системе отсчета.

4. Луч света движется через систему зеркал, расположенных в вершинах квадрата со стороной $L$. Найти время движения фотона через систему с точки зрения наблюдателей, движущихся со скоростью $V = 0,8 c$ в направлениях, указанных на рисунке.

5. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью $V$. Через время $T$ после его старта с Земли посылают сигнал связи. Каково с точки зрения космонавтов расстояние между Землей и кораблем в момент получения сигнала?

6. Два космических корабля летят встречными курсами со скоростями $V = 0,5 c$. При пролете мимо друг друга (в точке О рисунка) их часы были синхронизированы. Через час после встречи (по своим часам) один из кораблей посылает радиосигнал вдогонку другому. Какое время покажут часы, установленные на втором корабле, в момент приема посланного радиосигнала?

7. Космический корабль половину времени (по часам корабля) двигался с релятивистской скоростью $V_1$, а вторую половину — со скоростью $V_2$. Какое расстояние пролетел корабль с точки зрения земного наблюдателя, если его путешествие по часам на земле длилось время $T$.

8. Две нестабильные частицы движутся в К-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении с одинаковой скоростью $v= 0,990 c$. Расстояние между частицами в этой системе отсчета $\ell =12$ м. В некоторый момент обе частицы распались одновременно в К'-системе отсчета, связанной с ними. Найти:

1) промежуток времени между моментами распада обеих частиц в исходной К-системе отсчета;

2) какая частица распалась позже в К-системе.

9. На концах стержня с собственной длиной $L_0$, движущегося со скоростью $V$, одновременно в системе стержня зажигаются две лампочки. Какая из них загорится раньше (и насколько) в лабораторной системе отсчета. Какую вспышку увидит раньше (и насколько) неподвижный наблюдатель, находящийся в точке О (см. рисунок).

10. В К-системе отсчета находится неподвижный приемник Р (см. рисунок). К нему со скоростью $V$ приближается источник $S$ световых сигналов. В системе отсчета, связанной с источником, сигналы испускаются периодически с частотой $\nu _0$ (собственная частота). С какой частотой $\nu$ будет воспринимать эти сигналы приемник Р?

11. Стеклянный брусок длиной $L$ движется со скоростью $V$ параллельно своей грани. Одна из сторон бруска, перпендикулярная скорости, посеребрена. Сколько времени по часам неподвижного наблюдателя потребуется свету, летящему параллельно $V$, чтобы пройти сквозь брусок, отразиться от серебряной грани и выйти из бруска? Скорость света в неподвижном бруске $c/n$ ($n$ — показатель преломления).

12. Источник света находится на расстоянии $L$ от неподвижного зеркала. По пути от источника к зеркалу свет проходит через стеклянную пластинку толщиной $L_0$ с показателем преломления $n$, движущуюся вдоль луча со скоростью $V$. Найти время движения света от источника до зеркала и обратно.

13. Две частицы движутся вдоль оси $x$ навстречу друг другу со скоростями $V_1$ и $V_2$. Найти скорость сближения частиц в Л-системе отсчета и сравнить ее с относительной скоростью частиц.

14. Две частицы движутся в К-системе отсчета под прямым углом друг к другу, причем первая со скоростью $v_1$, а вторая со скоростью $v_2$. Найти скорость одной частицы относительно другой.

15. Массивная плита, движущаяся перпендикулярно своей плоскости со скоростью $c/2$, налетает на легкую неподвижную частицу. Найти скорость частицы после упругого столкновения с плитой.

16. На берегу релятивистской реки, текущей со скоростью $V$, стоит мальчик и кидает в воду камни. Под каким углом к берегу он должен кидать камни, чтобы до него доходили волны от места падения.

17. Катер, имеющий относительно воды скорость $u$, движется из пункта А в пункт В, находящийся строго напротив на другом берегу релятивистской реки шириной $L$, текущей со скоростью $V$. За какое время он пересечет реку?

18. Стержень, ориентированный параллельно оси $x$ К-системы отсчета, движется в этой системе со скоростью в положительном направлении оси $y$ Найти угол $\theta '$ между стержнем и осью $x'$ К$'$-системы, перемещающейся со скоростью $V$ относительно К-системы в положительном направлении ее оси $x$ Оси $x$ и $x'$ совпадают, оси $y$ и $y'$ параллельны друг другу.