1. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой m относительно оси, проходящей через центр масс шара.

2. Выведите формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса муфты равна m, внутренний радиус r, внешний R.

3. Два одинаковых шероховатых цилиндра раскрутили вокруг их осей до угловых скоростей $\omega _1$ и $\omega _2$ и привели в соприкосновение боковыми поверхностями. Оси цилиндров параллельны. Найти установившиеся спустя достаточно продолжительное время угловые скорости вращения цилиндров.

4. Вентилятор вращается с частотой $n = 600$ об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав $N = 50$ оборотов, остановился. Работа $A$ сил торможения равна 31,4 Дж. Определите: 1) момент сил $M$ торможения; 2) момент инерции $J$ вентилятора.

5. К ободу однородного сплошного диска радиусом $R = 0,5$ м приложена постоянная касательная сила $F = 100$ H. При вращении диска на него действует момент сил трения $M = 2$ Н$\cdot $м Определите массу $m$ диска, если известно, что его угловое ускорение $\varepsilon $ постоянно и равно 16 рад/с$^2$.

6. Найти ускорение цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости.

7. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом $R = 50$ см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой $m = 6,4$ кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением $a = 2$ м/с$^2$. Определите: 1) момент инерции $J$ вала; 2) массу $M$ вала.

8. Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Максвелла, представляющий собой массивный диск радиусом $R$ и массой $m$, туго насаженный на ось радиусом $r$, которая подвешивается на двух предварительно намотанных на нее нитях. Когда маятник отпускают, то он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном движении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции оси, определите: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити.

9. Однородный шар радиусом $r = 20$ см скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом $R = 50$ см. Определите угловую скорость со шара после отрыва от поверхности сферы.

10. Тело массой $m_1 = 0,25$ кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой $m_2 = 0,2$ кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока $m = 0,15$ кг Коэффициент трения $\mu $ тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите: 1) ускорение $a$, с которым будут двигаться эти тела; 2) силы натяжения $T_1$ и $T_2$ нити по обе стороны блока.