Определите положение центра масс системы, состоящей из четырех шаров, массы которых равны соответственно $m, 2m, 3m$ и $4m$ следующих случаях:

а) шары расположены на одной прямой;

б) шары расположены по вершинам квадрата;

в) шары расположены по четырем смежным вершинам куба.

По определению центра масс

$$\vec{r}_{c}=\frac{\sum_{i}\vec{r}_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}},$$

соответственно проецируя вектор на оси, получим координаты

$$x_{c}=\frac{\sum_{i}x_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}, \ \ y_{c}=\frac{\sum_{i}y_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}, \ \ z_{c}=\frac{\sum_{i}z_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}.$$

В первом случае только x-овая компонента не нулевая:

$$x_{c}=\frac{\sum_{i}x_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{0\cdot m+a\cdot2m+2a\cdot3m+3a\cdot4m}{m+2m+3m+4m}=\frac{am\left(2+6+12\right)}{10m}=2a.$$

2

3