mmf2-4-1 [Задачи по физике]

Это старая версия документа!

= Решение задачи =

Условие: Найти результирующее колебание при сложении $ N $ когерентных колебаний одинаковой амплитуды $ A $, частоты $ \omega $, фазы которых образуют арифметическую прогрессию с шагом $ \varphi_0 $.

Дано:

Количество колебаний: $ N $.
Амплитуда каждого: $ A $.
Круговая частота: $ \omega $.
Фаза первого колебания: $ \varphi_1 $.
Шаг прогрессии фаз: $ \varphi_0 $.
Фаза $ n $-го колебания: $ \varphi_n = \varphi_1 + (n-1)\varphi_0 $.

Найти:

Выражение для результирующего колебания (амплитуду и интенсивность).

—

Ход решения

Запись суммы колебаний

Результирующее колебание представляет собой сумму отдельных гармонических колебаний: $$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_1) + A \cos(\omega t + \varphi_1 + \varphi_0) + \cdots + A \cos\bigl(\omega t + \varphi_1 + (N-1)\varphi_0\bigr).$$

Комплексное представление

Для удобства сложения перейдём к комплексной форме, используя формулу Эйлера: $\cos\alpha = \operatorname{Re} e^{i\alpha}$. Тогда: $$x(t) = \operatorname{Re}\left[ A e^{i(\omega t + \varphi_1)} \left( 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} \right) \right].$$

Сумма геометрической прогрессии

Выражение в скобках — сумма $ N $ членов геометрической прогрессии с первым членом $1$ и знаменателем $e^{i\varphi_0}$: $$S = 1 + e^{i\varphi_0} + e^{i2\varphi_0} + \cdots + e^{i(N-1)\varphi_0} = \frac{1 - e^{iN\varphi_0}}{1 - e^{i\varphi_0}}, \quad \text{при } \varphi_0 \neq 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$

Модуль суммы (амплитуда)

Найдём амплитуду результирующего колебания как модуль комплексной амплитуды: $$A_{\text{рез}} = A \cdot |S| = A \cdot \frac{|1 - e^{iN\varphi_0}|}{|1 - e^{i\varphi_0}|}.$$ Используем тождество: $|1 - e^{i\theta}| = 2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|$. Тогда: $$|1 - e^{iN\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|,\quad |1 - e^{i\varphi_0}| = 2\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|.$$ Подставляем: $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$

Интенсивность результирующего колебания

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Если $I_0$ — интенсивность одного колебания, то: $$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}}.$$

Анализ особых случаев

Если $\varphi_0 = 2\pi m$ (где $m$ — целое), то все колебания синфазны, и формула даёт неопределённость $0/0$. Раскрывая предел, получаем $A_{\text{рез}} = N A$, что соответствует полной синхронизации.
Если $\varphi_0 = \frac{2\pi m}{N}$ (но не кратно $2\pi$), то $\sin\frac{N\varphi_0}{2} = \sin(\pi m) = 0$, числитель обращается в ноль, а знаменатель не равен нулю, поэтому $A_{\text{рез}} = 0$ (интерференционные минимумы).
Главные максимумы наблюдаются при $\varphi_0 = 2\pi m$ (уже рассмотрено) и, в общем случае, при значениях $\varphi_0$, близких к $2\pi m/N$, формируется дифракционная картина.

—

Ответ

Результирующая амплитуда $N$ когерентных колебаний с одинаковыми амплитудами и фазами, образующими арифметическую прогрессию с шагом $\varphi_0$, равна: $$A_{\text{рез}} = A \cdot \frac{\left|\sin\frac{N\varphi_0}{2}\right|}{\left|\sin\frac{\varphi_0}{2}\right|}.$$ Интенсивность результирующего колебания: $$I = I_0 \cdot \frac{\sin^2\frac{N\varphi_0}{2}}{\sin^2\frac{\varphi_0}{2}},$$ где $I_0$ — интенсивность одного колебания.