1.30. С помощью принципа Ферма найти:
а) закон преломления света на плоской границе двух однородных сред с показателями преломления $n_1$ и $n_2$;
б) фокусное расстояние тонкой линзы с радиусами кривизны поверхностей $R_1$ и $R_2$ с показателем преломления $n$ и сферического зеркала радиуса $R.$
(2) Найти матрицы перехода сферической границы двух сред в параксиальном приближении и пустого пространства.
1.31. Эффективным методом расчета оптических систем является
матричный формализм. В этом методе точка пересечения луча с плоскостью, ортогональной оси системы, характеризуется расстоянием $x$ до оси и углом $\alpha = \frac{dx}{dz},$ между лучом и осью. Тогда точки $(x_1, \alpha_1)$ и $(x_2 , \alpha_2),$ являющиеся изображением друг друга (сопряженные точки), связаны матрицей $M_{12}$ оптического преобразования, причем $\text{Det}M_{12} = \frac{n_1}{n_2}$ — отношению показателей преломления среды в точках
1, 2. Так, матрица пустого промежутка длиной $d$ есть
$$\left(\begin{array}{cc}
1 & d\\
0 & 1
\end{array}\right)$$
а матрица тонкой
линзы, помещенной в среду с $n = 1,$ имеет вид
$$M_f=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
-\frac 1f & 1
\end{array}\right).$$
Используя матричный формализм: 1) получите «формулу тонкой линзы»; 2) найдите положение фокусов, главных плоскостей и фокусные расстояния «толстой» линзы и покажите, что $\frac 1a + \frac 1b = \frac 1f,$ где $a, b$
расстояния от предмета и изображения до входной и выходной главных плоскостей соответственно.
1.33. У тонкой двояковыпуклой линзы серебрится одна из поверхностей с радиусом кривизны $R_2.$ Радиус чистой поверхности $R_1.$ Найти фокусное расстояние полученного таким образом зеркала, если показатель преломления стекла линзы $n.$
1.35. Две тонкие линзы с фокусными расстояниями $f_1$ и $f_2$ находятся на расстоянии $\ell$ друг от друга, образуя собой центрированную систему. Найти фокусное расстояние этой системы, а также положение ее главных плоскостей.
1.37. Имеются две системы $N$ линз с одинаковыми фокусными расстояниями $|f|$ каждой линзы. Найти траекторию луча в каждой из систем, если расстояние между линзами — $d.$ Рассмотреть случаи:
а) система составлена только из собирающих линз. При каком соотношении $\frac df$ решение неустойчиво?
б) Система состоит из чередующихся рассеивающих и собирающих линз.
1.38. Найти радиус кривизны светового луча при его распространении в прозрачной среде с медленно изменяющимся показателем преломления $n.$