Это старая версия документа!

2.17. Вывести формулу Рэлея для связи групповой и фазовой скоростей через $\frac{dv}{d\lambda}$, а также через $\frac{dn}{d\lambda}$.

Продифференцируем фазовую скорость $v=\frac{\omega}{k}$ по длине волны: $$ \frac{dv}{d\lambda}=\frac{d\frac{\omega}{k}}{dk}\frac{dk}{d\lambda}= \left(\frac{1}{k}\frac{d\omega}{dk}-\frac{\omega}{k^{2}}\right)\frac{dk}{d\lambda}= $$ $$ \left(\frac{1}{k}u-\frac{v}{k}\right)\frac{dk}{d\lambda}= \left(\frac{1}{k}u-\frac{v}{k}\right)\left(-\frac{k}{\lambda}\right). $$ Таким образом:

Так как $v=\frac{c}{n},$ то $$ \frac{dv}{d\lambda}=\frac{d\frac{c}{n}}{d\lambda}=-\frac{c}{n^{2}}\frac{dn}{d\lambda}=-\frac{v}{n}\frac{dn}{d\lambda},$$ тогда

Для вывода формулы Рэлея, связывающей групповую и фазовую скорости через производные от $\frac{dv}{d\lambda}$ и $\frac{dn}{d\lambda}$, рассмотрим волновой пакет, состоящий из множества монохроматических волн с различными частотами.

1. Фазовая скорость $(v_{ph})$ определяется как скорость распространения фазы волны и связана с длиной волны $(\lambda)$ следующим образом: $$ v_{ph} = \frac{\omega}{k}, $$ где $( \omega )$ — угловая частота, а $( k )$ — волновое число.

2. Групповая скорость $( v_g )$ представляет собой скорость перемещения центра масс (центра) волнового пакета и может быть выражена через фазовую скорость следующим образом: $$ v_g = \frac{d\omega}{dk}. $$

3. Теперь нам нужно выразить эти скорости через $(\frac{dv}{d\lambda})$ и $(\frac{dn}{d\lambda})$. Для этого воспользуемся следующими соотношениями: - Связь частоты $(\omega)$ и длины волны $(\lambda)$: $$ \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, $$ где $(c)$ — скорость света в вакууме. - Волновое число $(k)$ связано с длиной волны следующим образом: $$ k = \frac{2\pi}{\lambda}. $$

4. Продифференцируем эти уравнения по $(\lambda)$, чтобы получить нужные производные: - Для $(\frac{dv}{d\lambda}):$ $$ \frac{dv}{d\lambda} = -\frac{c}{\lambda^2}, $$ - для $(\frac{dn}{d\lambda}):$ $$ \frac{dn}{d\lambda} = - \frac{2 \pi}{\lambda^2}. $$

5. Подставим полученные выражения в формулу групповой скорости: $$ v_g = \frac{d(\frac{2\pi c}{\lambda})}{dk} = \frac{-2\pi c}{-\frac{2\pi}{\lambda}} = c \lambda. $$

6. Групповая скорость $( v_g )$, выраженная через длину волны, равна $( c\lambda )$.

7. Теперь подставим выражение для фазовой скорости $( v_{ph} )$ в терминах $(\lambda)$ в уравнение для групповой скорости: $$ v_g = v_{ph}\left(1 + \frac{\lambda \frac{dv_{ph}}{d\lambda}}{2}\right). $$

8. Это уравнение показывает, что групповая скорость отличается от фазовой на величину, пропорциональную производной фазовой скорости по длине волны.

9. Таким образом, формула Рэлея связывает групповую и фазовую скорости следующим образом: $$ \boxed{ v_g = v_{ph} + \lambda \left(\frac{dv_{ph}}{d\lambda}\right)}. $$

10. Аналогично можно выразить связь через производную показателя преломления: $$ n(\lambda) = A + B/\lambda^2, $$ где $(A)$ и $(B)$ — константы.

11. Тогда: $$ \frac{dn}{d\lambda} = -2B/\lambda^3, $$ и $$ \lambda \frac{dn}{d\lambda} = -2B. $$

12. Следовательно, групповая скорость будет равна: $$ v_g = v_{ph} - \frac{2B}{n(\lambda)}. $$

Таким образом, мы получили формулу Рэлея для связи групповой и фазовой скоростей через производные по длине волны и показателю преломления.